Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку

В означенні інтеграла припускалося, що проміжок інтегрування скінченний, а підінтегральна функція обмежена на цьому проміжку. Тим часом застосування інтеграла іноді вимагають узагальнення цього поняття на випадок нескінченного проміжка або випадок необмеженої підінтегральної функції. Такі інтеграли називають невластивими.

Означення. Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь-якому проміжку , де , тобто інтеграл

існує для будь-якого значення . Якщо існує скінченна границя

, то ця границя називається невластивим інтегралом від

функції по нескінченному проміжку і позначається .

Рис. 19

Цілком аналогічно визначається невластивий інтеграл від функції по нескінченному проміжку : .

Іноді розглядається невластивий інтеграл по всій числовій прямій . За означенням , де - будь-яке число, при умові, що обидва інтеграли в правій частині збігаються.

Приклади. Обчислити невластивий інтеграл або довести його розбіжність.

а)

Інтеграл збігається.

б)

Пропонуємо читачеві пересвідчитися, що при даний інтеграл розбігається. Таким чином інтеграл збігається, якщо і розбігається, якщо .