Основні властивості визначеного інтеграла

1) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю: .

2) Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний: .

Властивості 1) і 2) приймаються за означенням. Вони підказані процедурою означення інтеграла і виправдовуються далі способом обчислення інтеграла (формулою Ньютона-Лейбніца).

3) Cталий множник можна винести за знак визначеного інтеграла: .

Справді: .

` 4) Визначений інтеграл від суми інтегровних функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій: .

Для довільного розбиття відрізка

маємо: , звідки, переходячи до границі при , отримаємо сформульовану властивість. Ця властивість очевидним чином поширюється на випадок будь-якого скінченного числа доданків.

Властивості 3) і 4) складають властивість лінійності визначеного інтеграла.

5) Якщо проміжок інтегрувння розбити на скінченну кількість частинних проміжків, то інтеграл по всьому проміжку дорівнює сумі інтегралів по частинних проміжках (властивість адитивності).

Нехай функція інтегрована на відрізку і . Покажемо, що . Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способу розбиття відрізка , то розіб’ємо його так, щоб точка була точкою розбиття, наприклад . Тоди інтегральну суму можна розбити на дві суми: .

Переходячи в цій рівності до границі при , отримуємо .

Результат очевидним чином розповсюджується на випадок, коли проміжок розбивається на будь-яку скінченню кількість частинних проміжків. Зазначимо, що дана властивість стає цілком наочною, якщо розглянути її з точки зору геометричного тлумачення інтеграла.

6)Нерівність можна почленно інтегрувати: якщо маємо , то .

Побудувавши інтегральні суми для цих інтегралів (при одному й тому ж розбиттю) маємо

,

бо за умовою для всіх . Переходячи до границі при , одержуємо .

7) Модуль визначеного інтеграла менший або рівний інтегралові від модуля підінтегральної функції: якщо функція інтегровна на відрізку , то .

Застосовуючи попередню властивість до нерівності , отримуємо , а це і означає, що .

8) Інтеграл від одиничної функції дорівнює довжині проміжка інтегрування: .

Справді, відповідна інтегральна сума

при будь-якому розбитті, отже .

9) Якщо і відповідно найменше і найбільше значення функції на відрізку , то

(теорема про оцінку інтеграла).

За умовою . На підставі властивості 6) , звідки, застосовуючи властивості 3) і 8)

отримуємо потрібну нерівність: .

Означення. Поділимо щойно одержану нерівність почленно на :

Число називається середнім значенням функції на відрізку . Оскільки , то є висота прямокутника, основною якого є відрізок , а площа дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими , і кривою .

10) Якщо функція неперервна на відрізку , то існує така точка , що (теорема про середнє значення функції).

Справді, функція, неперервна на відрізку, набуває всіх проміжних значень між її найменшим і найбільшим значенням (теорема Коші). Отже існує принаймні одна точка така, що .

11) Інтеграли від парної і непарної функції в симетричних межах.

а) Якщо непарна функція , то .

б) Якщо парна функція , то .

Рис. 3

= – площа + площа =

=2 площі = .

На завершення переліку основних властивостей інтеграла рекомендуємо читачеві самостійно з’ясувати геометричну інтерпретацію кожної з властивостей.