Означення визначеного інтеграла

В попередньому пункті розглянуто дві задачі, взяті з різних галузей знання – одну з геометрії, іншу з фізики. Якщо абстрагуватися від конкретного змісту цих задач і зосередити увагу на їх аналітичній структурі, то бачимо, що в цьому сенсі вони цілком однакові. В обох випадках розв’язання задачі вимагає обчислення границі деякої суми цілком певної будови. Таку ж аналітичну структуру має величезна кількість задач, які виникають у різних галузях науки, техніки, економіки і взагалі людської діяльності. Виникає потреба у створенні спеціального математичного апарату для розв’язання подібних задач. Таким апаратом є визначений інтеграл.

Означення. Нехай на відрізку задана обмежена функція . Розіб’ємо відрізок на частинних відрізків точками

.

На кожному відрізку розбиття візьмемо довільно точку і позначимо , де . Побудуємо суму , яку будемо називати інтегральною сумою для функції на відрізку . Очевидно, що інтегральна сума залежить від способу розбиття відрізка і від вибору проміжних точок .

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при (тобто при необмеженому подрібненні розбиття відрізка ) і ця границя не залежить ні від способу розбиття, ні від вибору проміжних точок , то ця границя називається визначеним інтегралом функції на відрізку і позначається

.

Тоді функція називається інтегровною на відрізку , числа і називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, відрізок - проміжком інтегрування.

Повертаючись до задач попереднього пункту, доходимо висновку, що

а) площа криволінійної трапеції, обмеженої прямими , , і графіком функції , дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції: (геометричний зміст визначеного інтеграла); якщо , то отримуємо відповідну площу із знаком мінус;

б) шлях , пройдений точкою за проміжок часу від до , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості : (фізичний зміст визначеного інтеграла).

Зауважимо, що визначений інтеграл є числом, яке не залежить від позначення змінної інтегрування, тобто і т.д.

Виникає питання про умови, при яких визначений інтеграл існує.

Теорема (достатня умова існування визначеного інтеграла). Якщо функція неперервна на відрізку , то вона інтегровна на цьому відрізку, тобто інтеграл існує.

Ця умова є лише достатньою, тобто інтегровними можуть бути і деякі функції з точками розриву на проміжку інтегрування, але ми в подальшому вважатимемо підінтегральні функції неперервними, якщо не обумовлено протилежне.