Свойства определителей. Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк

Так как определитель не меняется при транспонировании матрицы, свойства, приведенные ниже для строк, справедливы и для столбцов.

1. Определитель, имеющий нулевую строку равен нулю.

2. Определитель, у которого две строки равны или пропорциональны, равен нулю.

3. Общий множитель строки можно выносить за знак определителя.

4. Перестановка двух строк определителя изменяет знак определителя.

5. Если строку определителя умножить на постоянное число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

6. Сумма произведений элементов строки на соответствующие алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

7. Определитель .

То есть определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц: .

►Пример 2. Вычислить определители:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) .

Решение.

1) Определитель вычислим по формуле (1)

.

2) Сравним вычисления по формуле (2) и по формуле (3). По формуле(2) Для вычисления по формуле (3) возьмем вторую строку (выбор строки произволен) и вычислим миноры и алгебраические дополнения к элементам этой строки

.

.

По формуле (3) имеем .

3) В определителе во втором столбце имеется два нуля. Воспользуемся формулой (4) и выберем для разложения второй столбец

.

4) Первый столбец определителя имеет общий множитель. Вынесем этот множитель за знак определителя

.

5) Имеем определитель треугольной матрицы , следовательно, по свойству (8) .

6) Определитель имеет пятый порядок. Разложение по элементам строки (столбца) приводит к пяти определителям четвертого порядка, что в свою очередь дает для каждого из них четыре определителя третьего порядка. Многовато! Воспользуемся пятым свойством определителей. Умножим первую строку на минус единицу и прибавим ее ко второй строке. Затем последовательно первую строку умножим на минус два и прибавим к третьей строке; первую строку умножим на минус три и прибавим к четвертой строке: первую строку умножим на минус четыре и прибавим ее к четвертой строке. Замечаем, что первая строка при наших действиях остается неизменной, поэтому все операции можно сделать за один шаг перехода. Договоримся условно записывать сделанные операции над равенством перехода. Получаем:

◄