Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Действия с матрицамиМатрицы и действия с матрицами Основные понятия. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: , где первый индекс соответствует номеру строки, а второй индекс – номеру столбца. Матрица размера может быть записана в одном из видов: либо При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись . Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается . Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы. Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается . Перестановка в матрице строк со столбцами называется транспонированием матрицы. Матрица, полученная таким образом из матрицы , называется к ней транспонированной и обозначается : . Заметим, что . Действия с матрицами. В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия. 1. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны: . 2. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы: . 3. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера: . Для перечисленных выше действий справедливы все алгебраические действия. 4. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу «строка на столбец»: Рис.1 А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты умножения складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицы надо каждый элемент −ой строки матрицы умножить на соответствующий по порядку элемент −го столбца матрицы и результаты сложить. При записи знак умножения может быть опущен: . Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную к ней получаем квадратную матрицу. Умножение матриц не коммутативно. Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство , называются коммутативными. Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения: Отметим также свойство умножения и сложения для транспонированных матриц . 6. Возведение в степень. Для квадратных матриц возможно возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом очевидно, справедлив коммутативный закон умножения .
►Пример 1. а) Даны матрицы: , , . Выполнить указанные действия: 1) указать размер матрицы , 2) записать элемент матрицы , 3) найти: а) транспонированную матрицу , б) матрицу , 4) вычислить , 5) вычислить , ( - единичная матрица). Решение. 1) Матрица имеет 3 строки и 4 столбца, следовательно, ее размер . 2) Элемент находится во второй строке и первом столбце матрицы : . 3) Транспонированная матрица получается из исходной при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицы умножить на три: а) , б) . 4) Матрицы и имеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать . 5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Следовательно, возможно умножение , При этом получаем матрицу , имеющую три строки и три столбца: Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу . Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка: . ◄
|