Односторонние пределы

Определение.

Число b называется правым (левым) пределом функции в точке x = a, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента x, элементы x_n которой больше (меньше) а, соответствующая последовательность

сходится к b.

Записывают так: или .

Для левого предела:

или .

С учетом введенных определений ясно, что функция непрерывна в точке , если:

,

т.е. левый предел должен равняться правому и равняться значению функции в точке .

Пример: когда левый и правый пределы не совпадают

Функция не является непрерывной в точке .

Вернемся к самому первому определению. Функция непрерывна, если . Тогда ; или .

Обозначим , . Тогда , – приращение аргумента, – приращение функции, соответствующее приращению .

Таким образом, функция непрерывна в точке , если приращение функции стремится к нулю при любом способе стремления к нулю приращения аргумента .

может быть любого

знака.

Отметим важное свойство непрерывных функций.

Пусть функция непрерывна в точке . Выберем последовательность , так чтобы . Тогда . Таким образом, для непрерывной функции можно поменять местами операции предела lim и взятие функции. На языке математики говорят, что для непрерывной функции операторы lim и f коммутативны (перестановочны). Пример: можно доказать, что функция непрерывна в любой точке. Поэтому .