Определение. Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m)

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число M (число m), что каждый элемент x множества удовлетворяет неравенству

При этом число M (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества . Любое ограниченное сверху множество имеет бесконечно много верхних граней. Любое , так же, как и M, является верхней гранью. Аналогичное замечание можно сделать относительно нижней грани.

Естественно, возникают вопросы: имеется ли среди верхних граней множества наименьшая? Или имеется ли среди нижних граней наибольшая?

Определение.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом – супремум. Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества называется точной нижней гранью этого множества и обозначается – инфинум.

Это определение можно сформулировать по другому.

Число называется точной верхней (точной нижней) гранью множества , если выполнены следующие два требования:

1) Каждый элемент множества удовлетворяет неравенству

2) Каково бы ни было вещественное число , меньшее , найдется хотя бы один элемент x множества , удовлетворяющий неравенству ().

Теорема.

Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число , являющееся точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.

Формулировка этой теоремы дается без доказательства.