Пример. Второй вариант : какая-та часть подынтегральной функции заменяется на или на

.

Второй вариант: какая-та часть подынтегральной функции заменяется на или на .

Пример. .

Замечание. Обратим внимание, что форма ответов не совпадает, т.е. форма ответа зависит от метода интегрирования. Покажем, что отличаются ответы только по форме.

Так как , то , т. е. . Таким образом, надо показать, что .

Пусть , т.е. . Возьмем тангенс от обеих частей доказываемого равенства , но , , , т.е. и . ■

4. Интегрирование по частям.

Теорема 1. Пусть , - функции, дифференцируемые , а функция - интегрируемая . Тогда интегрируема функция , причем имеет место равенство .

Доказательство:

Рассмотрим производную произведения функций и : . Тогда . Проинтегрируем обе части последнего равенства: . Так как , , , то . Таким образом, . +

Обычно в подынтегральном выражении функцию, которую дифференцируют, принимают за , а ту, которую интегрируют, принимают за . Интегрирование по частям применяется чаще всего в следующих случаях.

I случай.

I-й тип	II-й тип	III-й тип
	, где

За принимаются подчеркнутые функции, а за - остальная часть подынтегрального выражения. - это многочлен степени . Интегралы I-го типа берутся раз по частям, II-го типа - раз, III-го типа (за исключением двух последних) - 2 раза, причем оба раза за принимаем степенную функцию или тригонометрические функции , в первом интеграле III-го типа. По частям могут быть взяты и интегралы, не принадлежащие к основным типам интегралов.