Умножение квадратных матриц

Рассмотрим умножение двух квадратных матриц:

a₁₁ a₁₂ в₁₁ в₁₂

А = a₂₁ a₂₂ , В = в₂₁ в₂₂

Произведения этих матриц С=А*В находится по правилу:

Для вычисления элемента с₁₁ первую строку матрицы А умножают на первый столбец матрицы В, чтобы вычислить элемент с₁₂ первую строку матрицы А умножают на второй столбец матрицы В и т.д. Затем полученные произведения складывают, т.е

а₁₁в₁₁+а₁₂в₁₂ а₁₁в₁₂+а₁₂в₂₂ (1)

С=АВ= а₂₁в₁₁+а₂₂в₂₁ а₂₁в₁₂+а₂₂в₂₂

При умножении матриц применяются следующие свойства:

1) А + (ВС) = (А*В) С;

2) А * (В+С) = А*В + А*С

Пример 1. Найти С = А*В, если

1 3 -2 4

А = 2 0 В = 3 2

Используя формулу (1) находим:

1*(-2)+3*3 1*4+3*2 7 10

С=А*В= 2*)-2)+0*3 2*4+0*2 = -4 8

Пример 2. Найти произведения A *B и B *A, если

А=(), B=()

A * B = ()=

=()= ()

B * A = ()=

=()= ()

Сравним A*B≠B*A => для умножения матрицы переместительный закон НЕ выполняется.

Итак, свойства операций над матрицами:

1) A+B=B+A

2) (A+B)+C=A+(B+C)

3) K(A+B)=KA+KB

4) A(B+C)=AB+AC

5) (A+B)C=AC+BC

6) K(AB)=(KA)B=A(KB)

7) A(BC)=(AB)C

Однако есть специфические свойства матрицы:

1)Если AB – существует, то B*A – может не существовать. 3=3

А_2x3* B_3x3 – существует, аB_3x3*A_2x3 – не существует

2)Если существуют A*B и B*A, то они могут быть матрицами разных размеров (не равные)

3) AB ≠BA

Пример 3. Вычислить A*B, если

A= (), B= ()

Решение: 1) Найдём размер матрицы – произведения

A_2x3 * B_3x3 =C_2x3

2) Вычислим матрицу С:

С=() =

=() = ()

Пример 4. Найти произведения матриц AB и BA, где

A= (), B= ()

Решение: 1) А_2x3 * B_3x2 = C_2x2

2) C=() = (),

С = АВ =()

₁₎ B_3x2 * A_2x3 = P_3x3

2) D = () = ()

AB≠BA – коммуникативный закон умножения матриц не выполняется!!!

Пример 5. Найти произведения матриц AB и BA, где

A = (), B=()

AB =() = ()

BA = () = () т.е. AB ≠BA

3)Частный случай переместительного закона умножения матриц. Произведение любой квадратной матрицы А на единичную Е того же порядка

AE=EA=A

4)Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что AB=0, не следует, что A=0 или B=0.

Например:

A = () ≠ 0, B = () ≠ 0, но

AB = () = () =

5) Если AB=AD, то из этого равенства не следует, что матрицы B и D равны.

Например:

А= ; B= ;D= , т.е. B ≠D, но

AB= =

AD= =

AB=AD

Возведение в степень A^m(m>1)

А^m=A*A*A*A*A*A………….А - это всё m раз, выполняется только для кваратных матриц.

По определению полагают:

A^o= У

A¹=A

A^m*A ^k = A^m+k

(A^m)^k=A ^mk, но (А*B)^m=А^m*B^m – справедливо только для перестановочных матриц.

Вычислить: 1) A², где A=

A² = =

2) A= , А⁴=?

A⁴ =

Отметим, что если А ^m– нулевая матрица, то из этого не следует что матрица А=0

Например: A= ≠0, но А² =0