Решение. 1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

ŷ_х=а + bх,

где ŷ_х- прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

х - производство валовой продукции на одного среднегодового работ­ника, тыс. руб.;
а, b - параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения а и b составим систему нор­мальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просум­мируем:

где n - число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл.7).

Подставим полученные данные в систему уравнений:

Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при a (в первом уравнении на 10, во втором – на 3864):

Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:

0,58 = 5,635b; b = 0,103.

Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение a:

a = 19,5 - 386,4 • 0,103 = -20,2992.

Таблица 7

Вспомогательная таблица для расчета статистических величин

Сельскохо-зяйст- венное пред­при­ятие	При­быль на 1 ра­бот- ­ника, тыс. руб.	Вало­вая про­дук­ция на 1 рабо­т- ника, тыс.руб.	y2	x2	ху	ŷx	y-ŷx
y	x
						20,4	2,6	11,30
						18,7	0,3	1,58
						15,5	-2,5	19,23
						25,3	-0,3	1,20
						22,5	4,5	16,67
						21,3	-2,3	12,10
						10,7	-0,7	7,00
						12,6	1,4	10,00
						22,5	-0,5	2,27
						25,5	-2,5	10,87
Сум­ма						X	X	92,22

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:

Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ_x =-20,431+0,103х.

Коэффициент регрессии b=0,103 показывает, что при росте произво­дительности труда на 1 тыс. руб. прибыль на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 0,103 тыс. руб.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппрок­симации по формуле:

где - ошибка аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, опреде­лим теоретические (расчетные) значения ŷ_х (табл.7). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние гра­фы табл. 7. Отсюда:

В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 9,222 %. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее, так как средняя ошибка аппрокси­мации не превышает допустимого предела (8-10%).

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

где и - средние значения признаков,

Отсюда:

;

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте
производительности труда на 1 % прибыль на одного работника повыша­ется на 2,041%.,

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

где - средняя сумма произведения признаков;

и - средние квадратические отклонения по х и у.

Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 7 и в пункте 3 решения. Отсюда:

Коэффициент корреляции r_ху=0,91 свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминации r²_у - 0,910² = 0,829 показывает, что 82,9 % изменений в уровне прибыли на одного работника объясняется различием в уровне производительности труда.

5. Для проверки статистической значимости (существенности) ли­нейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_факт при принятом уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν = n - 2 = 10 - 2 = 8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенно­сти связи между прибылью и производительностью труда.

6. Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным (критическим) значением F_факт.

Фактическое значение F_факт по формуле:

В нашем случае:

Табличное значение F_табл по таблице значений F-критерия Фишера - при α = 0,05, k₁ = m =1 и k₂ = n-m-1 = 10-1-1=8 равно 5,32 (m - число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетель­ствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и пока­зателя тесноты связи r_xy, то есть они статистически надежны и сформиро­вались под неслучайным воздействием, фактора х.

7. Полученные оценки, уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение прибыли на одного ра­ботника при среднем росте производительности труда на 10 %.

Прогнозное значение производительности труда:

х_р = • 1,1 = 386,4 • 1,1 = 425 тыс. руб.

Прогнозное значение прибыли на одного работника:

ŷ_р = -20,431 + 0,103 • 425 = 23,5 тыс. руб.