Сравнительная характеристика подходов к интегральному и дифференциальному исчислениям Ньютона, Лейбница

В 1665-1667 годах Ньютон начал работать над созданием математического аппарата, с помощью которого можно было бы исследовать и выражать законы физики. Ньютон первый построил дифференциальное и интегральное исчисления (он назвал его методом флюксий). Это сразу позволило решать самые разнообразные, математические и физические, задачи. До Ньютона многие функции определялись только геометрически, так что к ним невозможно было применять алгебру и новое исчисление флюксий. Ньютон нашел новый общий метод аналитического представления функции - он ввел в математику и начал систематически применять бесконечные ряды.

Поясним эту идею Ньютона. Известно, что любое действительное число можно представить десятичной дробью - конечной или бесконечной. Так. например:

Это значит, что любое число a можно представить в виде:

где N - целая часть, а a1, a2,... an,... могут принимать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любая функция от x, например , может быть представлена как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x:

где a1, a2,... an,...- коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия:

Представление функции с помощью ряда очень удобно. С помощью рядов, как писал Ньютон, “удается преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти неодолимыми”.

Одновременно с Ньютоном к аналогичным идеям пришёл другой выдающийся учёный - Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла.

Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:

где F`(x)=f(x).

Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.

Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).