Теоретическое обоснование. Таблица функции (1 вариант) 3

Оглавление

Оглавление. 2

Цель работы.. 3

Таблица функции (1 вариант) 3

Тереоретическое обоснование. 4

Предваарительные вычисления. 6

Текст программы.. 7

Вывод программы.. 8

Цель работы

1. Программная реализация на языке С++ дифференцирования функции, с помощью формул Ньютона, Гаусса, Бесселя, Стирлинга

2. Проверка работы составленной программы для заданной функции.

Таблица функции (1 вариант)

2.4	3.526
2.6	3.782
2.8	3.945
3.0	4.043
3.2	4.104
3.4	4.155
3.6	4.222
3.8	4.331
4.0	4.507
4.2	4.775
4.4	5.159
4.6	5.683

Найти приближенное значение функции, при следующих значениях аргумента:

1) X = 2.4 + 0.05*1 = 2.45

2) X = 3.12 + 0.03*1 = 3.15

3) X = 4.5 – 0.06*1 = 4.44

4) X = 4.04 – 0.04*1 = 4.0

Теоретическое обоснование

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , , где - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином степени не выше , принимающий в точках значения

(1)

Условия (1) эквивалентны тому, что при .

Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:

. (2)

Легко видеть, что полином (2) полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, во-первых, степень полинома не выше , во-вторых,

и , .

Заметим, что при формула (2) превращается в ряд Тейлора для функции :

.

Для практического использования интерполяционную формулу Ньютона (2) обычно записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введём новую переменную по формуле ; тогда получим:

, (3)

где представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки . Это и есть окончательный вид интерполяционной формулы Ньютона.

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x узлы. Если , то формула

написанная по узлам , называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула

написанная по узлам , называется формулой Гаусса для интерполирования назад. В формулах (1) и (2) использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Интерполяционная формула Стирлинга имеет вид:

где, как и раньше, .

Интерполяционная формула Бесселя: