Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет первые частные производные в точке и в каждой точке некоторой окрестности точки . Тогда частные производные от частных производных называются частными производными второго порядка от функции в точке . Частные производные второго порядка обозначаются ; ;

; .

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. . Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

Пример №19 Найти вторые частные производные функции .

Решение:

Вначале находим частные производные первого порядка:

; .

Далее находим

;

.

Пример №20 Проверить, что , если .

Решение:

Находим ; .

Далее, ; . Очевидно, что .

Задания:

1. Найти вторые частные производные от заданных функций:

а) ;

b) ;

c) .

2. Проверить, что для функций:

а) ;

b) ;

c) .

3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

.