Исследование функций и построение их графиков

Схема исследования функции и построения графиков:

1. Определить область существования функции.
2. Исследовать функцию на четность и нечетность.
3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат.
4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.
5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.
6. Найти интервалы выпуклости вверх и вниз; определить точки перегиба.
7. Построить график функции.

Пример №15 Построить график функции: .

Решение:

1. Область существования функции

2. Функция не является ни четной ни нечетной.

3. Найдём точки пересечения с осями координат:

при

при , , т.е. кривая пересекает ось и ось O в начале координат.

4. Точка разрыва: .

Исследуем характер разрыва:

: , т.е. разрыв бесконечный 2-го рода.

Найдём асимптоты графика функции: - вертикальная асимптота; т.к. , , горизонтальных асимптот нет.

Рассмотрим

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту .

5. Вычислим первую производную и исследуем её знаки:

, для - функция возрастает;

, для - функция убывает.

В точках и производная , но в окрестности точки она меняет знак, поэтому в точке функция имеет экстремум (максимум); в окрестности точки производная не изменяет знака, следовательно, точка не является точкой экстремума функции.

Вычислим значения: , .

В точке производная не существует, но в этой точке не существует и сама функция, поэтому не является критической точкой для производной.

1. Вычислим вторую производную и исследуем её знаки:

для - функция выпукла вверх.

для - функция выпукла вниз.

В точке , и в окрестности этой точки вторая производная изменяет знак, значит, в точки функция имеет точку перегиба.

1. Результаты исследований наносим на график.

Задания: Построить графики функций:

a) ;

b) ;

a)