Дифференциал функции

Из определений производной и предела переменной следует, что , или .

Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения независимой переменной, называется дифференциалом функции и обозначается знаком : .

Дифференциал независимой переменной равен её приращению, , поэтому , т.е. дифференциал функции равен её производной, умноженной на дифференциал независимой переменной.

Пример№13. Найти полное приращение функции и её дифференциал, сравнить их значения при .

Решение:Полное приращение запишем в виде:

Преобразовав его, получим:

Найдём полный дифференциал. По определению он равен В точке имеем , . При достаточно малых полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. . Это обстоятельство используется для приближенных вычислений: , или .

Пример№14: Найти приближенное значение .

Решение: Представим , тогда , : .

Задания: 1)Найти дифференциал функций:

a) ;

b) ;

c) .

2) Вычислить приближенное значение:

a) ; b). .

Определение 4.10. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал , обозначается . Тогда .