Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теорема о структуре общего решения
Если два частных решения 
и 
линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами образуют фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид
 ,
| (7.3) |
где 
и 
- произвольные постоянные.
Выражение 
называется линейной комбинацией функций и .
Доказательство. Докажем сначала, что функция (7.3) является решением уравнения (7.1). Для этого подставим в уравнение (7.1) вместо у линейную комбинацию и докажем, что оно превращается в тождество:
(C 1 y 1 + C 2 y 2) ''+ p (C 1 y 1 + C 2 y 2) ' + q (C 1 y 1 + C 2 y 2) = C 1 y 1 '' + C 2 y 2' ' + pC 1 y 1 ' + pC 2 y 2 '+
+qC 1 y 1 + qC 2 y 2 =C 1 (y 1 '' + py 1 ' + qy 1) + C2 (y 2 '' + py 2 ' + qy 2).
Так как 
и 
являются решениями уравнения (7.1):
y 1' ' + py 1 ' + qy 1 = 0 и y 2 '' + py 2 ' + qy 2 = 0,
то при любых значениях и получаем тождество:
.
А это значит, что функция (7.3) является решением уравнения (7.1).
Теперь докажем, что формула (7.3) представляет общее решение уравнения (7.1). Для этого достаточно показать, то из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (6.5).
Пусть j(x) –какое-либо частное решение уравнения (7.1) и х0 – некоторое число из области определения этого решения. Обозначим j (х 0) =у 0, j' (х 0) =у 0 '. Отсюда следует, что решение у=j (х) удовлетворяет начальным условиям (х 0, у 0, у 0 '). Покажем, что оно может быть получено из общего решения (7.3) надлежащим выбором постоянных С 1 и С 2.
Подставляя начальные условия в равенства
у = С 1 у 1(х) + С 2 у 2(х),
у' = С 1 у 1 ' (х) + С 2 у 2 ' (х),
получим
С 1 у 1(х 0) + С 2 у 2(х 0) = у 0 (7.4)
С 1 у 1 ' (х0) + С 2 у 2 ' (х0) = у 0 '
Равенства (7.4) представляют собой систему уравнений с неизвестными С 1 и С 2, причём определитель этой системы
у 1(х 0) у 2(х 0)
W (x 0) =
у 1 ' (х 0) у 2 ' (х 0)
является определителем Вронского для функций у 1(х) и у 2(х) при х=х 0. Так как, по условию, частные решения у1(х) и у2(х) образуют фундаментальную систему, то W(х0)¹ 0 при любом действительном значении х0. Поэтому система (7.4) имеет единственное решение:
у0 у2(х0) y1(x0) y0
С10 = С20 =
у0' у2'(х0), y1 '(x0) y0'
W(x0) W(x0)
Таким образом, существует частное решение
у = С 10 у 1 + С 20 у 2, (7.3а)
удовлетворяющее начальным условиям (6.5), причём в силу единственности оно совпадает с решением j (х).
Этот вывод основывается на теореме Коши, которая для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (7.1) формулируется следующим образом.
Теорема Коши: При любых начальных данных (х 0; у 0; у 0 ') задача Коши имеет, причём единственное, решение, то есть при любых начальных данных х 0, у 0, у 0 ' существует, причём единственное, решение уравнения (7.1), удовлетворяющее начальным условиям (6.5): у 0(х 0) = у 0, у' (х 0) = у 0 '.
Date: 2015-09-02; view: 285; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |