Умножение матриц. Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы

Умножение матриц (обозначение: , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице должно совпадать с количеством строк в матрице , иными словами, матрица обязана быть согласованной с матрицей . Если матрица имеет размерность , — , то размерность их произведения есть .

Свойства умножения матриц:

• 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

• 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA;

• 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

• 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

• 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Свойства

[править] Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

· Ассоциативность сложения:

· Коммутативность сложения:

· Ассоциативность умножения:

· Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

· Дистрибутивность умножения относительно сложения:

· С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

· Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.