Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Системы дифференциальных уравнений





Система дифференциальных уравнений вида

 

, (11.1)

 

где х 1, х 2, … х n – неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой (системой в нормальной форме) или системой, разрешённой относительно производных от неизвестных функций x i = x i(t). Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно х 1, х 2, … хn , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Нормальная система двух дифференциальных уравнений первого порядка записывается в виде:

. (11.2)

 

Решением системы (11.2) называется всякий набор из двух функций , обращающих оба уравнения системы в тождества.

Задача Коши для системы (11.2) состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения:

 

. (11.3)

 

Общее решение системы (11.2) содержит две произвольные постоянные С 1, С 2, фиксируя которые находят любое частное решение в области изменения начальных условий . Неявная запись решений:

 

. (11.4)

 

Соотношения (11.4) называют первыми интегралами системы.

Геометрически решение определяет некоторую линию (интегральную кривую системы) на плоскости . Если считать, что аргумент t играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости . В этом случае определяет вектор скорости. С механической точки зрения система (11.2) означает задание поля скоростей в каждый момент времени t, а решение задачи Коши равносильно нахождению траектории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимающей в начальный момент времени положение (a, b). Плоскость , на которой рассматривается движение, называется фазовой.

Рассмотрим два метода решения систем дифференциальных уравнений в нормальной форме.

 

Метод нахождения интегрируемых комбинаций

Сущность этого метода состоит в том, что с помощью арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, то есть легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Пример 1. Решить систему уравнений , .

D Складывая почленно эти уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

, , , .

Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем другую:

 

, , ,

Из найденных уравнений определяем решение системы

 

, , или ,

где , . Ñ

Пример 2. Решить систему уравнений , .

Ñ Замечаем, что при сложении уравнений системы в правой части пропадают неизвестные х и у. То же самое происходит при сложении уравнений с множителями х и у соответственно:

 

,

Или

dx +dy = -dt, xdx + ydy =tdt.

Интегрируя эти равенства и перенося влево член с t, получим первые интегралы системы в виде:

 

x+ y +t =C 1, x 2 + y 2 + t 2 =C 2.

Отсюда можно выразить х и у через t, C 1, C 2.т.е. получить общее решение системы. Ñ

 

Геометрическая интерпретация. Эти интегралы в пространстве задают окружность как пересечение сферы x 2 + y 2 + t 2 =C 2 c плоскостью x+ y +t =C 1 . Проектируя эту окружность на фазовую плоскость , получим на ней эллипс. Его уравнение находится исключением t из первых интегралов.

 

Пример 3. Решить систему уравнений , .

D Умножив обе части первого уравнения на у, а второго – на х и сложив почленно полученные уравнения, имеем

или .

Отсюда xу =C 1 t . (*)

Вводя (*) в первое уравнение системы, получим .

Интегрируя это уравнение, находим х:

, , .

Из равенства (*) в случае имеем .

 

Кроме того, если у = 0, из первого уравнения системы х = С, а если х = 0, то из второго уравнения у = Сt. Ñ

Метод исключения неизвестных

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удаётся привести к одному уравнению более высокого порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Общая схема приведения состоит в следующем. Дифференцируя, например, первое из уравнений (11.1) последовательно (n- 1) раз и подставляя каждый раз вместо производных их значения, из остальных уравнений этой же системы имеем

 

= F 1 (t, x 1, x 2,… x n),  
= F 2 (t, x 1, x 2,… x n),  
…….…………………… (11.5)
= F n-1 (t, x 1, x 2,… x n),  
= F n (t, x 1, x 2,… x n).  

 

Определив х 2, х 3, … х n из первых (n- 1) уравнений системы (11.5) и подставив эти выражения в последнее уравнение системы, получим дифференциальное уравнение n- ого прядка

 

=F . (11.6)

 

 

Решив это уравнение, найдём решения исходной системы уравнений.

 

Пример 4. Решить систему уравнений , .

D Дифференцируя обе части первого из данных уравнений, имеем

. (**)

 

Из второго уравнения находим

 

.

Подставив это выражение в (**), получим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

 

Для его решения составим и решим характеристическое уравнение:

 

k 2 – 2 ak +(1 +a 2) = 0, k 1,2 = a ± .

 

Следовательно, x = eat (C 1 cos t + C 2 sin t). Из первого уравнения исходной системы определяем y (t):

y= ax=aeat (C 1 cos t + C 2 sin t)+ eat (− C 1 sin t+ C 2 cos t) − aeat (C 1 cos t + C 2 sin t) = =eat (− C 1sin t + C 2 cos t). Ñ

 

Пример 5. Решить систему уравнений ,

D Дифференцируя второе уравнение: и учитывая, что, согласно первому , имеем . Отсюда .

Далее находим и подставляем во второе уравнение системы:

, где , . Ñ

 

Пример 6. Решить систему уравнений ,

D Дифференцируя обе части первого из данных уравнений, имеем

 

. (***)

 

Из второго уравнения находим , поэтому уравнение (***) можно представить в виде .

Общее решение этого уравнения: . Из первого уравнения системы находим . Ñ

 

 

Понятие о системах линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

Пусть мы имеем систему дифференциальных уравнений

 

=a11x1 + a12x2 +…+a1nxn

=a21x1 + a22x2+…+a2nxn (11.7)

……………………………..…

=an1x1 + an2x2+…+annxn..

Здесь t – аргумент, x 1(t), x 2(t),… x n(t)- искомые функции, – постоянные. Система (11.7) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Эту систему можно решать путем сведения к одному уравнению n -ого порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (11.7) и другим методом, не сводя к уравнению n- ого порядка. Рассмотрим его на примере решения системы двух уравнений

 

 

=a 11 x 1 + a 12 x 2

=a 21 x 1 + a22x2 (11.7а)

Будем искать частное решение системы в виде:

 

x 1 = a 1 ek t, x 2 = a 2 ekt. (11.8)

 

Требуется определить постоянные a1, a2 и k так, чтобы функции a 1 ekt, a 2 ekt удовлетворяли системе уравнений (11.7а). Подставляя их в систему (11.7а), получаем:

 

ka 1 ekt = (a 11 a 1 + a 12 a 2) ekt

 

ka 2 ekt = (a 21 a 1 + a 22 a 2) ekt

 

Сократим на ekt. Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при a 1 и a 2, получим систему уравнений:

 

 

(a11- k) a1 + a12a2 = 0

(11.9)

a21a 1+ (a22- k) a2 = 0

Для того чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:

 

 

a11 –k a12

=0 (11.10)

a21 a22 –k

 

Уравнение (11.10) называется характеристическим уравнением системы (11.9). Из уравнения (11.10) мы и получаем те значения k, при которых система (11.9) имеет нетривиальные решения.

Ограничиваясь рассмотрением случая, когда корни характеристического уравнения (k 1 и k 2) действительные и различные, на основе системы уравнений (11.9) находим

 

,

и

, .

 

 

Ее общим решением является система функций

 

(11.11)

Пример 7. Решить систему уравнений , .

D Частные решения этой системы ищем в виде x 1 = aekt, x 2 = bekt (новые обозначения искомых постоянных ввели для удобства записи). Подставляя эти выражения в данную систему, для определения a и b получим линейную однородную систему уравнений

 

(5k) a+ 2 b = 0

(*)

−4 a + (−1− k) b = 0.

Составляем характеристическое уравнение:

 

5− k 2

=0

−4 −1− k

 

и находим его корни: k 1 = 1, k 2 = 3.

 

При k = k 1 = 1 система уравнений (*) эквивалентна уравнению 4 a + 2 b = 0, одно из решений которого есть a =1, b = −2. Поэтому x 1(1) = et, x 2(1) = −2 et являются решением исходной системы уравнений.

Подставив корень k = 3 в систему (*), получим эквивалентное ей уравнение 2 a + 2 b = 0. Одно из его решение есть a = 1, b = −1. Таким образом, найдено ещё одно решение исходной системы уравнений: x1(2) = e3t, x2(2) = −e 3t.

Поскольку

et e 3 t

= e 4 t¹ 0,

−2 ete 3 t

найденные два решения являются линейно независимыми, а следовательно, образуют фундаментальную систему решений.

 

Поэтому общее решение исходной системы будет

x 1 =C 1 et + C 2 e 3 t

x2 = −2 C 1 et – C 2 e 3 t ,

где С 1 и С 2 – произвольные постоянные. Ñ

 

 

Раздел «Дифференциальные уравнения» в программе курса математики на технологических факультетах обеспечивается лишь шестью лекциями. Поэтому важно в рамках самостоятельной работы углубит и расширить полученные знания, изучить как учебную литературу, так и специальные монографии, рекомендуемые преподавателями. Очень советую познакомиться, в частности, с замечательными книгами: А.М. Смойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. «Дифференциальные уравнения: примеры и задачи». «Высшая школа». 1989; В.В. Амелькин. «Дифференциальные уравнения в приложениях». «Наука». ГРФМЛ. 1987.

Важно получить представление о возмодностях использования дифференциальных уравнений при изучении реальных явлений и процессов, осознать широкое использование при их составлении геометрического и физического смысла производной, а также законов естественных наук. В качестве примеров полезно рассмотреть задачи о движении точки под действием постоянной и периодической силы, а также силы, пропорциональной скорости, о колебании точки под действием упругой силы, задачу о колебаниях математического маятника.

Наконец, необходимо с методами приближенных решений, с качественной теорией дифференциальных уравнений, одним из основных вопросов которой является проблема устойчивости решения или устойчивости движения.Этот вопрос исследован в работах выдающегося русского математика А.М. Ляпунрва (1857-1918).

Желаю Вам, мои юные друзья, успехов в учебе и прошу высказать критические замечания по содержанию представленного конспекта лекций. Это очень важно для мен в деле дальнейшего совершенствования учебного процесса.

 

Date: 2015-09-02; view: 1005; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию