Определители и их свойства

Определителем или детерминантом квадратной

матрицы порядка называется число, вычисляемое

из элементов этой матрицы по определенному

правилу. Обозначается А. Минором элемента aij,

матрицы порядка n называется определитель

порядка (n-1), полученный из элементов матрицы

после вычеркивания из нее строки с номером i и

столбца с номером j, на пересечении которых

стоит этот элемент.Минор обозначается символом

Mij. Например, в матрице:

А11 а12 а13 4 -5 3

А = а21 а22 а23 = 2 0 -1

А31 а32 а33 -4 7 12

минор элемента а23 получается при вычеркивании

из матрицы А 2-ой строки и 3-его столбца,

оставшиеся элементы являются определителем 2-ого порядка

А11 а12 4 -5

М23 = а31 а32 = -4 7

Минор элемента 31

А12 а13 -5 3

М31 = а22 а23 = 0 -1

В этом случае определитель 3-его порядка

имеет 9 миноров 2-ого порядка.

Алгебраическим дополнением элемента aij

матрицы А порядка n называется минор

этого элемента Mij, взятой со знаком (-1):

Aij = (-1) * Mij. Если сумма номеров

строки и столбца данного элемента четная,

то алгебраическое дополнение и минор

элемента совпадают, а если эта сумма

нечетная, то алгебраическое дополнение и

минор имеют одинаковую величину, но

разные знаки. Например, для

рассматриваемой матрицы:

4 -5

А23 = (-1) М23 = -4 7

-5 3

А31 = (-1) М31 = 0 -1

Свойства определителей:

1.Определитель матрицы не изменяется при

ее транспонировании. Транспонирование –

перемена ролями строк и столбцов матрицы.

2.Если переставить в определители матрицы

два параллельных ряда, то определитель

сменит знак на противоположный.

3.Определитель матрицы равен нулю,

если все элементы какого-либо ряда равны нулю.

4. Определитель матрицы равен нулю, если

матрица содержит два одинаковых ряда.

5. Определитель матрицы равен нулю, если в

матрице есть ряд, элементы которого

представляют собой линейную комбинацию

соответствующих элементов других рядов.

6. Множитель, общий элементам какого-либо

ряда, можно вынести за знак определителя или

наоборот, чтобы умножить определитель на

число, нужно умножить на это число элементы

одного из рядов определителя.

7. Основное правило вычисления определителей

– Правило Разложения. Определитель квадратной

матрицы равен сумме произведений элементов

какой-либо строки (столбца) матрицы на

соответствующие им алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элементов какой-либо

строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения

элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Вычисление определителей:

1.Определитель матрицы 1-огопорядка равен

самому элементу этой матрицы.. А = | a11 | = a11

2.Определитель матрицы 2-ого порядка равен

разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

A11 a12

A = a21 a22 = a11 * a22 – a12 * a21