Важные частные случаи

· Линейный функционал — линейный оператор, для которого :

· Эндоморфизм — линейный оператор, для которого :

· Тождественный оператор (единичный оператор)— оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя; норма такого оператора равна единице (для нормированных пространств)

· Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент в нулевой элемент .

· Проектор — оператор сопоставляющий каждому его проекцию на подпространство.

· Сопряжённый оператор к оператору — оператор на , заданный соотношением .

· Самосопряженный (или симметрический) — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.

· Эрмитов оператор — такой оператор , что для всех пар из области определения . Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.

· Унитарный оператор — оператор, область определения и область значений которого — всё пространство, сохраняющий скалярное произведение , в частности, унитарный оператор сохраняет норму любого вектора ; оператор, обратный унитарному, совпадает с сопряжённым оператором ; норма унитарного оператора равна 1; в случае вещественного поля К унитарный оператор называют ортогональным;

· Положительно определённый оператор. Пусть — гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительно определённым, если .

26. Определение линейного оператора.
Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись ) называется линейным, если:

Условия 1 и 2 равносильны соотношению