Закон смещения Вина

где b =2,9 10^-3 м К – постоянная Вина.

1. 
   Абсолютно черное тело почти не излучает в области малых частот и в области больших частот.
2. 
   В области малых частот и больших температур излучательная способность абсолютно черного тела подчиняется формуле Рэлея-Джинса

k – постоянная Больцмана.

1. 
   В области больших частот зависимость излучательной способности абсолютно черного тела хорошо описывается формулой Вина

(закон излучения Вина)

где – неизвестная функция.

1. 
   В качестве теоретической модели абсолютно черного тела можно взять бесконечную систему гармонических осцилляторов со всевозможными собственными частотами.
1. 
   Каждый из осцилляторов соответствует монохроматической компоненте, а излучательная способность абсолютно черного тела и среднее значение энергии осциллятора с частотой ν связаны между собой выражением

1. 
   М.Планком была выдвинута гипотеза, что атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, энергия которых пропорциональна частоте колебаний

1. 
   Если считать, что распределение осцилляторов по возможным дискретным энергетическим состояниям подчиняется закону Больцмана

,

то выражение для излучательной способности абсолютно черного тела будет иметь вид

(формула Планка)

а функция в законе излучения Вина будет равна

1. 
   Из формулы Планка следует закон Стефана-Больцмана

а постоянная Планка связана с постоянной Стефана-Больцмана соотношением

=6,63 10^-34 Дж с

1. 
   Длина волны, соответствующая максимуму r*, определяется из уравнения

, где

Решение этого уравнения удовлетворяет закону смещения Вина и постоянная Вина

=2,9 10^-3 м К

хорошо совпадает с экспериментальным значением.

1. 
   Оптической пирометрией называется совокупность оптических методов измерения высокой температуры, основанных на законах теплового излучения.
1. 
   Для измерения температуры используются специальные приборы, называемые пирометрами:

• 
  оптические пирометры регистрируют излучение тела в каком-либо одном или двух узких участках спектра;
• 
  радиационные пирометры регистрируют интегральное излучение нагретого тела.

1. 
   Основными пирометрическими характеристиками излучения являются:

• 
  Поток излучения Ф_э – средняя мощность оптического излучения за время, значительно больше периода колебаний электромагнитного поля света.
• 
  Энергетическая освещенность Е_э – поток излучения, падающего на поверхность dS, отнесенный к единице площади этой поверхности

• 
  Сила излучения I_э – поток излучения источника в рассматриваемом направлении, отнесенный к единичному телесному углу d Ω

• 
  Энергетическая яркость В_э – отношение силы излучения площадки dS в рассматриваемом направлении к площади проекции dS на плоскость, перпендикулярную к этому направлению

• 
  Спектральная плотность энергетической яркости – отношение энергетической яркости dB_э узкого участка оптического спектра к ширине этого участка

1. 
   Источник излучения называется косинусным (подчиняющимся закону Ламберта), если энергетическая яркость и спектральная плотность энергетической яркости одинаковы для всех направлений.
2. 
   В оптической пирометрии различают радиационную, цветовую и яркостную температуры тела.
1. 
   Радиационная температура Т_р тела – температура абсолютно черного тела, при которой его энергетическая яркость В_э* равна энергетической яркости В_э данного тела.

• 
  При степени черноты исследуемого тела α из закона Стефана-Больцмана следует

→ →

где Т – действительная температура тела.

1. 
   Яркостная температура Т_я тела – температура абсолютно черного тела, при которой его спектральная плотность энергетической яркости для какой-либо определенной длины волны равна спектральной плотности энергетической яркости данного тела для той же длины волны.

• 
  При поглощательной способности тела А_λ,Т из закона Кирхгофа и формулы Планка следует

→ →

где

1. 
   Цветовая температура Т_ц тела – температура абсолютно черного тела, при которой относительные распределения спектральной плотности яркости абсолютно черного тела и рассматриваемого тела максимально близки в видимой части спектра

Цветовая температура совпадает с истинной и может быть определена из закона смещения Вина

Формулы Рэлея - Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана - Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r_v,T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r_v,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877-1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея - Джннса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(200.1)

где áeñ = kT-средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы áeñ = kT.

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея - Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана - Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея - Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то время как по закону Стефана - Больцмана R_e пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

r_v1,T = Cv³Ae^-Av/T

где r_v1,T - спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А - постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями - квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

где h= 6,625×10^-34 Дж×с - постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора е может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e₀:

В данном случае среднюю энергию áeñ осциллятора нельзя принимать равной kT. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при hv << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея - Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея - Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана - Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x = hv/(kT); dx = hdv/(kT); dv = kTdx/h. Формула для R_e, преобразуется к виду

(200.4)

. Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана - Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана - Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

откуда

Значение l_max, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc/(kTl_max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает х=4,965. Следовательно, hc/(kTl_max) = 4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана - Больцмана а и Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения а и b, можно вычислить значения А и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

69. Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитных излучений. Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при упорядоченном движении во внешнем электрическом поле, называется фототоком.

Фотокатод — электрод вакуумного электронного прибора, непосредственно подвергающийся воздействию электромагнитных излучений и эмитирующий электроны под действием этого излучения.

Зависимость спектральной чувствительности от частоты или длины волны электромагнитного излучения называют спектральной характеристикой фотокатода.