Что такое размерность?

В научной фантастике уже давно обыгрываются преимущества, связанные с дополнительными измерениями пространства. Авторы часто обращаются к ним, чтобы перемещать своих персонажей из одного места Вселенной в другое, избегая утомительных путешествий со скоростью света или около того – в общем черепашьим шагом – по обычному трехмерному пространству. Так, в книге Артура Кларка “Космическая Одиссея: 2001" экспедиция на Сатурн завершается рискованным проникновением в дополнительное измерение на одном из спутников Сатурна.

Однако интерес к проблеме размерности пространства возник задолго до появления фантастики. Древние греки остро чувствовали ее значение для развития науки геометрии. Непосредственно столкнуться с проблемой размерности их заставил любопытный случай, связанный со свойствами правильных многоугольников (замкнутых плоских фигур со сторонами равной длины, например квадратов, правильных пяти‑, восьмиугольников и т. п.). Количество различных правильных многоугольников безгранично – могут существовать правильные многоугольники с любым числом сторон. Однако существует всего лишь пять типов различных правильных многогранников (замкнутых объемных фигур, грани которых образованы правильными многоугольниками). Грекам было свойственно наделять геометрию глубоким мистическим смыслом, а Птолемей даже написал исследование на тему о размерности, в котором утверждалось, что в природе вообще не может существовать более трех пространственных измерений.

В дальнейшем математики, в частности Риман, систематически изучали свойства многомерных пространств с чисто математических позиций. При этом основная проблема заключалась в формулировке последовательного определения размерности. Это было совершенно необходимо для доказательства строгих теорем относительно пространств с различным числом измерений.

Интуитивно все геометрические структуры мы подразделяем на одно‑, двух– и трехмерные в соответствии с их протяженностью. Так, не имеющей протяженности точке соответствует нулевая размерность. Линия является одномерной, поверхность – двумерной, объем – трехмерным. Вряд ли нам удастся лучше сформулировать эти определения, чем это сделал сам Евклид почти за 300 лет до н. э.

Точка – это то, что не имеет частей. Линия – длина, лишенная ширины.

Плоскость – это то, что имеет только длину и ширину. Объем – это то, что имеет длину, ширину и глубину.

Далее Евклид уточнял, что границами линии служат точки, границами поверхности – линии, а границей объемного тела – поверхность. Возникла мысль определить размерность по иерархической схеме, начиная с нулевой размерности точки, а затем шаг за шагом увеличивая ее на единицу. Тогда одномерным будет объект, у которого началом и концом служат точки, т.е. линия. Двигаясь далее, мы по индукции придем к определению четырехмерной структуры как ограниченной трехмерным объемом. Число измерений, которые можно логически ввести таким способом, не ограниченно, однако сама процедура не содержит каких" либо указаний на реальную физическую ситуацию.

Более наглядное и ясное представление о трехмерности можно получить с помощью другой схемы, основанной на указании местоположения точек в пространстве. Представьте себе, что вам необходимо встретиться с приятелем в заранее обусловленном месте. В этом случае можно указать географическую широту и долготу выбранного места; пусть это будет, например, Эмпайрстейт билдинг. Но в этом случае остается еще одна неопределенная величина – высота. На каком этаже должна состояться встреча? Итак, в общей сложности необходимо указать три независимых числа для того, чтобы однозначно определить положение точки в пространстве. По этой причине такое пространство называют трехмерным.

Рис.23. Двумерная вселенная. Плоское существо, живущее во Флатландии, не имеет представления о “верхе” и “низе”. Шар, пронизывающий плоский мир, воспринимается этим существом как двумерный объект, меняющий свою форму.

Теория относительности обнаружила, что пространство переплетено со временем, поэтому в действительности следует говорить не об одном только пространстве, а о пространстве‑времени. В какой день.вы собираетесь встретиться с приятелем в здании Эмпайр‑стейт‑билдннг? Указание времени события требует задать единственное число (“дату”), так что время одномерно. Объединяя пространство и время, мы приходим к четырехмерному пространству‑времени.

Когда мы пытаемся наглядно представить дополнительные измерения, например, четвертое пространственное измерение (в этом случае полное пространство‑время насчитывает пять измерений), нашей интуиции оказывается недостаточно. Для облегчения задачи можно обратиться к аналогии. Вообразим двумерное “блинообразное” создание, которое обречено существовать только на поверхности; у него отсутствуют представления о “верхе” и о “низе”. На рис. 23 изображена такая плоская вселенная. Мы можем догадываться, что эта поверхность в действительности “вложена” в трехмерное пространство, однако обитатель плоского мира не в состоянии понять эту более широкую точку зрения. Он воспринимает только события, происходящие на самой поверхности.

Возникает вопрос: а что будет наблюдать это создание, когда поверхность пересекается трехмерным объектом? Поверхность рассечет этот объект, причем размеры и форма сечения будут в общем случае изменяться по мере прохождения объекта. Так, сечение сферы в первый момент будет выглядеть как точка, которая, постепенно “расплываясь”, превратится в круг все увеличивающегося радиуса; достигнув максимального радиуса, круг начнет уменьшаться в размерах, напоследок снова превратившись в точку. Более сложные объекты будут создавать при прохождении следы более сложного сечения.

Рассуждая далее, по аналогии можно предположить, что четыре измерения пространства‑времени “вложены” во вселенную, имеющую пять или даже большее число измерений. Геометрию такой вселенной трудно вообразить, однако с помощью математики можно построить законченное логическое описание ее. Математики уже давно обобщили законы геометрии на случай пространства с произвольным числом измерений (включая бесконечно большое). Поэтому смысл многомерных пространств вполне можно понять, хотя непосредственному восприятию доступно лишь три измерения.

Какие особенности присущи четырехмерному пространству? Один из аспектов размерности касается числа взаимно перпендикулярных направлений, которые существуют в данном пространстве. Например, пространство этой страницы двумерно. Если положить ее на стол, то в любом из углов края страницы образуют две прямые линии, перпендикулярные друг к другу. Из того же угла невозможно провести третью прямую, лежащую в плоскости страницы и перпендикулярную обоим ее краям. Однако направление такой прямой удастся найти, если выйти из плоскости страницы и начертить вертикальную линию. Таким образом, в трехмерном пространстве в отличие от двумерной поверхности страницы существует три взаимно перпендикулярных направления.

В четырехмерном пространстве удалось бы найти четыре взаимно перпендикулярных направления. На рис. 24 изображен случай трех измерений: три взаимно перпендикулярные прямые исчерпывают максимально возможное число таких прямых. Как бы мы ни старались, мы никогда не найдем в обычном пространстве прямую, перпендикулярную всем трем. Любая прямая, перпендикулярная трем названным, должна идти в направлении, не принадлежащем нашему пространству. И хотя мы не в состоянии представить как проходит подобная прямая, очевидно, что формально она могла бы существовать. Ее можно описать, а именно вычислить и систематизировать ее геометрические параметры.

Рис. 24. Вершины прямоугольного параллелепипеда образованы тремя взаимно перпендикулярными прямыми линиями. В трехмерном пространстве из вершины нельзя провести ни одной прямой, которая была бы перпендикулярна всем трем ребрам.

Рис. 25. Знаменитая теорема Пифагора, связывающая между собой длины сторон прямоугольного треугольника, а, b, х, без труда обобщается на случай больших размерностей.

Простым примером сказанного может служить знаменитая геометрическая теорема древнегреческого геометра Пифагора, которая знакома любому школьнику. Эта теорема относится к прямоугольным треугольникам; на рис. 25 длины сторон такого треугольника обозначены соответственно а, b, х. Теорема Пифагора утверждает, что эти величины связаны между собой простой формулой х^2 = а^2 +b^2. Если положить для удобства а = 3, b = 4, то х = 5, поскольку 52 = З2 + 42.

Треугольник, изображенный на рис. 25, является, очевидно, двумерным объектом, однако теорему Пифагора можно без труда обобщить на случай трех измерений. На рис. 26 изображен прямоугольный ящик (параллелепипед) со сторонами а, b, с. Теорема Пифагора в этом случае относится к длине х диагонали, проведенной между противоположными вершинами ящика. Соответствующая формула имеет вид х^2 = а^2+b^2+с^2, очень сходный с двумерным случаем; однако теперь для вычисления длины диагонали нам необходимо знать длины трех взаимно перпендикулярных сторон.

В четырехмерном пространстве для нахождения длины диагонали пришлось бы использовать длины четырех взаимно перпендикулярных сторон, а, b, с и d. В этом случае формула имела бы вид x^2 = а^2 + b^2 + с^2 + d^2. Таким образом, хотя нам и не удается вообразить четырехмерный ящик, мы в состоянии детально проанализировать его геометрические свойства.

Однако при всей важности подобных геометрических рассмотрении такие построения остаются не более чем карточным домиком. И этот домик рухнул с наступлением в конце прошлого века эры современной математики, ознаменовавшейся развитием могущественного раздела математики –теории множеств. Одно из сильнейших потрясений, испытанных математиками, было связано с открытием Георга Кантора. Оно заключалось в том, что линия насчитывает столько же точек, сколько и поверхность. Интуитивное представление, что на поверхности в бесконечное число раз больше точек, чем в проведенной на ней линии, было полностью опровергнуто. Это утверждение было встречено скептически весьма уважаемыми математиками. Некоторые отвергали открытие Кантора, объявив его безумным. Шарль Эрмит писал: “Чтение писаний Кантора напоминает настоящую пытку... Отображение линии на поверхности совершенно неубедительно... подобный произвол... Автору следовало бы подождать с этим...” – и далее в том же духе.

Лишь на рубеже нынешнего столетия справедливость восторжествовала и удалось дать удовлетворительное определение размерности. Благодаря важным работам Л. Е. Дж. Брауэра, Рене Лебега и других была в конце концов найдена надежная процедура сравнения двух пространств с целью сопоставления их размерностей. Соответствующие методы и доказательства основаны на тонких абстрактных понятиях теории множеств, весьма далеких от наших интуитивных представлений. Лишь подобная тщательность и внимание к деталям позволили закрепить формальные основы нашей науки и нашего повседневного опыта.

Рис. 26. Длину диагонали прямоугольного параллелепипеда можно выразить через длины его ребер а, Ь и с, просто обобщив теорему Пифагора. Нетрудно перенести это обобщение и на случай четырех или большего числа измерений пространства.