Расчет наблюдателя Люенбергера

Доступной наблюдению считается лишь вторая компонента вектора состояния системы. Требуется построить наблюдатель пониженного порядка для восстановления первой компоненты при подаче на вход единичного входного воздействия.

Рассмотрим решение данной задачи с использованием MatLab.

Представим передаточную функцию следующим образом:

Зададим систему в пространстве состояний и сформируем матрицы системы:

sys=ss(tf([0 7,5], [9 1 0]));

[A,B,C,D]=ssdata(sys)

В результате этого получим:

Определение порядка объекта и индекса наблюдаемости.

Порядок объекта n равен размерности матрицы А, а индекс наблюдаемости

p – рангу матрицы С. Тогда получаем:

Уравнения наблюдателя пониженного порядка имеет вид:

Где H и G - матрицы размерности и соответственно.

Уравнения описания искомого наблюдателя для заданных значений и примут вид:

Найдем параметры . Из условия наблюдателя пониженного порядка:

В нашем случае это будет выглядеть следующим образом:

.

С учетом численных значений будут иметь вид:

Из условия физической реализуемости полагают таким, чтобы обеспечить желаемое время переходного процесса в наблюдателе. Выберем , значение параметра положим произвольным: . С учетом этих значений найдем с помощью пакета MATLAB коэффициенты

матрицы Т.

a1=-10;

a2=1;

T=a2*C/(A-a1*eye(2))

Получим:

Далее определим параметр из условия[1] следует:

.

Используя пакет MATLAB, получаем:

b1=T*B

b1 =

0.0730

Затем найдем матрицы H и G:

Решим методом Крамера:

После решения мы получим:

В соответствии с проведенными вычислениями уравнения наблюдателя принимают вид: