Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Расчёт скорости заполняющего трубу потока для сверхтекучей жидкостиВыяснив, что жидкость ускоряется вне трубы, а внутри неё скорость потока одинакова, можно переходить к расчётам скорости. Сначала рассмотрим внезапное заполнение абсолютно пустой трубы. Условно разобьём непрерывный поток на маленькие порции, мысленно нарезав его поперёк движения на тоненькие «ломтики». В соответствии с уравнением Бернулли, когда первая порция жидкости ринется в трубу, при разгоне жидкости с неизменным гравитационным потенциалом (в горизонтальной трубе) всё давление должно будет перейти в скоростной напор: ρ · v2 / 2 = –ΔP (11), где ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость потока; –ΔP — потери давления, перешедшие в скоростной напор. При этом со стороны трубы жидкости ничего не препятствует — труба пуста, поэтому первая порция набирает максимальную скорость практически мгновенно. За ней устремляется следующая порция, на которую сзади действует такое же давление, и спереди её также ничто не сдерживает — ведь первая порция уже унеслась вперёд с максимально возможной скоростью! Поэтому и вторая порция на входе в трубу набирает максимально возможную скорость. То же самое происходит и с третьей, и с последующими порциями. Конечно, в реальности они ускоряются более плавно, чем самое начало потока, но всё это ускорение, как мы выяснили чуть выше, происходит перед входом в трубу, внутри же трубы, начиная от самого её входа, заполняющий поток движется с максимально возможной скоростью, определяемой давлением на входе в трубу: vМ = √(2 · P0 / ρ) (12), где vМ — максимальная скорость потока; √ — операция извлечения квадратного корня; ρ — удельная плотность жидкости; P0 — давление возле входа в трубу. Мы получили вариант известной формулы Торричелли для определения скорости свободно истекающей жидкости. Теперь предположим, что в трубе возле входа уже было некоторое количество жидкости, которая, к тому же, уже двигалась с некоторой скоростью. Тогда по закону Бернулли со стороны жидкости вне трубы на неё будет действовать сила F = (P0 ± ρ · v2 / 2) / (π · R2) (13), где F — сила от внешнего давления, воздействующая на жидость в трубе; P0 — внешнее давление возле входа в трубу; ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость жидкости в трубе; R — внутренний радиус трубы; ± — определяется направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать. Соответственно, ускорение жидкости будет определяться этой силой и массой жидкости в трубе: a = F / m = ((P0 ± ρ · v2 / 2) / (π · R2)) / (ρ / (x · π · R2)) = (P0 / ρ ± v2 / 2) / x (14), где a — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления; P0 — внешнее давление (возле входа в трубу); ρ — удельная плотность жидкости; v — скорость жидкости в трубе; R — внутренний радиус трубы; x — текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от начала потока до входа в трубу; ± — векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать. Проанализируем только что полученную формулу для ускорения.
В соответствии с формулой (14) скорость потока при заполнении трубы на расстояние x от входа в трубу будет равна v(x) = lx∫ a(x) dx = lx∫ ((P0 / ρ ± v(x)2 / 2) / x) dx (15), где v(x) — скорость жидкости в трубе с учётом заполнения трубы; l — начальное заполнение трубы от её входа; x — текущее заполнение трубы от её входа; a(x) — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления с учётом заполнения трубы; P0 — внешнее давление (возле входа в трубу); ρ — удельная плотность жидкости. Итак, при попытке рассчитать скорость аналитическими методами мы сталкиваемся с необходимостью брать интеграл функции от самой себя. Это обусловлено тем, что разгон жидкости в трубе относится к неустановившимся («нестационарным») процессам, развитие которых прямо определяется состоянием их важнейших параметров на предыдущем этапе. Теперь понятно, почему теория гидравлического удара так долго находилась лишь на уровне качественного описания явления, а практические расчёты выполнялись на основании опытных данных и эмпирических формул, подходящих только для узкого диапазона условий. Однако получившаяся ситуация не является препятствием для численных методов решения задач, а с учётом возможностей современных компьютеров использование численных методов не представляет проблемы. К тому же для приближения к реальности необходимо учесть и гидравлическое трение, расчёт которого в аналитической форме, мягко говоря, весьма затруднителен...
|