A) А ааа

Рисунок.

та взаємноперпедикулярні, тому модуль прискорення

a =

а = ^. r, а_n = ^. r,

де - модуль кутової швидкості,

- модуль кутового прискорення.

а = = r ^. (1)

Кутова швидкість = d /dt = В + Сt.

В момент часу t = 4с модуль кутової швидкості

= [20 + 2^.(-2)^.4] рад/с = 4 рад/с.

Кутове прискорення = d /dt = 2С = - 4 рад/с².

Підставивши значення , та r в формулу (1), одержимо

а = 0,1^. = 1,65 м/с².

Закон сохранения энергии (з.с.э.) гласит: при любых процессах, происходящих в замкнутой (изолированной) системе, ее полная энергия не изменяется. З.с.э. является одним из наиболее фундаментальных законов природы и выполняется во всех процессах абсолютно точно.

Энергия незамкнутой системы может изменяться из-за внешних воздействий. Это изменение численно равно и противоположно по знаку алгебраической сумме изменений энергии всех внешних сил и полей, взаимодействующих с системой.

Существуют различные виды энергии: механическая, внутренняя (тепловая), электромагнитная, химическая, ядерная и др. Многообразие видов и переходов энергии между ними не позволяет записать з.с.э. в самой общей математической форме. Однако для многих частных случаев можно получить формулу энергетического баланса при всевозможных изменениях в физической системе.

Важным примером такого баланса является соотношение, определяющее изменение механической энергии незамкнутой системы тел, когда

извне тепло в систему не поступает:

DЕ = Авнеш – Q, (1)

где DЕ – изменение механической энергии системы (DЕ = DЕкин + DЕпот); Авнеш – работа внешних сил, совершенная над системой; Q – количество механической энергии, перешедшей в любые другие виды энергии вследствие взаимодействий внутри системы.

Рассмотрим несколько основных правил, которые необходимо выполнять при использовании соотношения (1).

1. Существуют две меры взаимодействия тел: сила и потенциальная энергия. Если сила является консервативной (как, например, сила тяжести, сила упругости, сила Кулона), то обе эти величины могут описывать одно и то же явление. Поэтому в соотношении (1) вклад в Авнеш дает работа только тех сил, вклад которых не учтен в изменении потенциальной энергии DЕпот.

Пример. Определим кинетическую энергию камня массой m = 1 кг. при его падении на поверхность земли, если он был брошен с высоты h = 5 м без начальной скорости. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение. Сначала рассмотрим систему “камень–земля”. Внешние силы, действующие на эту систему, отсутствуют следовательно, Авнеш=0.

Сила тяготения между камнем и землей является консервативной, поэтому Q=0. Тогда из (1) имеем

откуда

(2)

Теперь рассмотрим систему, состоящую из одного камня. В этом случае сила тяготения является внешней. Вектор перемещения параллелен силе тяготения, поэтому Авнеш = mghcos00 = mgh. Тогда из соотношения (1) получим DЕ = Екин2 – Екин1 = Авнеш = mgh,

и мы снова возвращаемся к (2).

Как и следовало ожидать, оба способа оказались эквивалентными. Если же притяжение камня и земли учесть одновременно в DЕпот и Авнеш, то результат окажется неверным.

2. При определении потенциальной энергии двух взаимодействующих тел следует учитывать, что эта энергия именно пары тел, а не каждого из них в отдельности.

3. При рассмотрении сил трения следует учитывать, что по III закону Ньютона силы возникают парами.

Если между телами действуют силы трения покоя, сумма их работ равна нулю, и они не изменяют механическую энергию системы тел. Этот вывод следует из того, что точки приложения сил неподвижны относительно друг друга, поэтому векторы их перемещения одинаковы, а векторы сил равны по величине и противоположны по направлению.

Если между телами действуют силы трения скольжения, сумма их работ всегда отрицательна, и механическая энергия системы тел уменьшается. Это происходит потому, что силы трения скольжения всегда направлены против относительной скорости взаимодействующих тел.

Перейдем к практическому использованию з.с.э. в решении задач.

Задача 1. Два тела находятся у оснований двух наклонных плоскостей с углами наклона

a=30° и b =60° соответственно (рис. 1). Телам сообщили одинаковые начальные скорости. Определите отношение высот максимального подъема тел, если трение отсутствует.

Рис. 1

Решение. Система “тело+земля” не является замкнутой, так как на тело действует сила нормальной реакции опоры (см. рис. 1). Однако в течение всего времени движения эта сила перпендикулярна скорости тела и поэтому не совершает над ним работы (Авнеш = 0). Трение отсутствует, поэтому Q = 0. Тогда из соотношения (1) следует, что механическая энергия сохраняется

D Е = D Екин + D Епот = 0. (3)

В точке максимального подъема скорость тела, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. Тогда из (3) имеем

(4)

откуда

(5)

Таким образом, высота максимального подъема не зависит ни от массы тела, ни от угла наклона плоскости. Учитывая, что v1=v2, окончательно получим

(6)

Ответ: k=1.

Задача 2. На горизонтальной поверхности лежит тело массой m = 0,1 кг, прикрепленное пружиной к вертикальной плоскости (рис.2). В начальный момент времени пружина не деформирована. На тело начинает действовать горизонтально направленная сила. Определите величину этой силы, если максимальное смещение тела от начального положения хm= 10 см. Коэффициент упругости пружины k = 100 Н/м, а коэффициент трения между телом и поверхностью m = 0,2.

Решение. Изменение механической энергии в системе “тело+пружина” определяется работой силы и силы трения:

(7)

где S – перемещение тела.

Сила параллельна вектору, поэтому ее работа положительна. Векторы и антипараллельны, поэтому работа силы трения отрицательна. В момент максимального смещения тело меняет направление своего движения на противоположное, поэтому его скорость обращается в нуль. Так как тело начинает свое движение из состояния покоя, изменение кинетической энергии системы D Екин = 0.

При движении тела по горизонтальной плоскости потенциальная энергия системы в поле силы тяжести не меняется. Тогда изменение потенциальной энергии обусловлено упругой деформацией пружины Таким образом, в точке максимального смещения (S=xm) уравнение (7) принимает вид

(8)

откуда окончательно получим

(9)

В заключение заметим, что вместо системы “тело+пружина” мы могли бы рассмотреть систему “тело+пружина+поверхность”. В этом случае стала бы внутренней силой системы. Тогда в соотношении (1) Авнеш = FS, но Q = FтрS, так как работа силы трения приводит к переходу механической энергии в тепловую, и вновь приходим к уравнению (7).

Ответ: F = 5,2 Н.

Задача 4. В результате столкновения находящиеся при одинаковой температуре t = –0,1° С снежки слипаются. Непосредственно перед

столкновением скорости снежков равны по величине
(м/с) и противоположны по направлению

Определите, насколько повысилась температура снега в результате удара. Удельная теплоемкость снега С = 2,1? 103 Дж/(кг*К).

Решение. Так как снежки слипаются, удар является абсолютно неупругим, поэтому механическая энергия системы не сохраняется. Согласно

закону сохранения импульса

(15)

конечная скорость образовавшегося кома равна нулю. Тогда по з.с.э. вся механическая энергия перешла в тепловую

(16)

Полученная снегом теплота приводит к его нагреву. Если соотношение (16) формально подставить в уравнение теплового баланса Q = C(m1 + m2)D t, то мы получим

(17)

Однако этот результат не имеет физического смысла: конечная температура tк = t + D t = 0,05° С превышает температуру плавления снега t0 = 0° С. Таким образом, правильное уравнение теплового баланса принимает вид

(18)

где l = 3,3*105 Дж/кг – удельная теплота плавления снега; m3 – масса растаявшего снега. Из уравнения (18) имеем

(19)

Следовательно, весь снег не растает. Температура оставшейся части снега t0=0° С, поэтому в результате удара она поднялась на величину

(20)

В заключение сделаем важное замечание. Шкалы температур Цельсия и Кельвина различаются на температуру абсолютного нуля

T ° K = t° C + 273,15° C, (21)

но разности температур одинаковы для обеих шкал

D T ° K = D t° C, (22)

Ответ:

Задача 5. На какую высоту можно было бы поднять тело массой М = 1 т, если бы удалось полностью использовать энергию, которую нужно затратить на испарение m = 200 г воды, первоначально находящейся при температуре t1 = 20° С? Удельная теплоемкость воды С = 4,2*103 Дж/(кг*К), удельная теплота испарения h =2,26*106 Дж/кг.

Решение. Чтобы испарить воду, ее сначала необходимо нагреть до температуры кипения t2 = 100° С. Тогда затраченное количество теплоты

Q = Cm(t2 – t1) + Lm. (23)

Если бы удалось полностью использовать эту энергию при подъеме тела, его потенциальная энергия увеличилась бы на величину Q. Тогда

м! (24)

К сожалению, согласно второму началу термодинамики нельзя полностью превратить количество теплоты в механическую работу.

1. Какую минимальную работу нужно совершить при броске мяча массой m об пол с высоты h, чтобы в результате абсолютно упругого удара мяч подпрыгнул на высоту вдвое большую?

Варианты ответа: а) 0; б) в) mgh; г) 2mgh.

3. В каком случае для нагревания металлического шара до одной и той же температуры потребуется больше энергии: 1) шар висит на нити; 2) шар расположен на плоскости? При нагревании шара нить и плоскость не деформируются и энергии не поглощают.

Варианты ответа: а) 1; б) 2; в) одинаково.

4. Понижается ли температура в комнате при открытой дверце работающего холодильника?

Варианта ответа: а) да; б) температура не изменится; в) температура повысится.

5. Чтобы нагреть 100 г воды на 1° С, требуется 100 калорий тепла (420 Дж). Можно ли “прокипятить” 1 л воды (1 кг), имеющий температуру 20° С, затратив только 7*104 калорий и не прибегая к другим источникам тепла?

Варианты ответа: а) да; б) нет, так как это противоречит з.с.э.

Приклад 3. При пострілі із пружинного пістолета вертикально вгору куля масою m = 20г піднялась на висоту h = 5м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на х = 10см. Масою пружини та силами тертя знехтувати.