Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
Задача отыскания экстремума в случае функции многих переменных может быть поставлена как задача об условном экстремуме функции с ограничениями вида , , …, , которые называются уравнениями связи. Разумеется, функции должны быть определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы в области . Таким образом, ведется поиск экстремума не на всей области определения, а лишь на множестве точек, удовлетворяющих уравнениям связи. Такой экстремум называется условным. Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, требуется найти экстремум функции при условии, что . Для этого из уравнения выражают одну из переменных через другую, например, . Подставив это выражение в , получают – функцию одной переменной, которую исследуют на обычный экстремум. Однако, в большинстве более сложных случаев решить этим способом задачу отыскания экстремума не удается. Для отыскания условного экстремума в общем случае применяется метод множителей Лагранжа. Для этого вводится вспомогательная функция Лагранжа:
.
Эта функция зависит от и значений множителей Лагранжа . Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции при условиях , ,…, , то существует такое , что точка является точкой экстремума функции
.
В качестве необходимых условий существования экстремума формируется система уравнений, решения которой и требуется найти:
Решения системы уравнений образуют множество критических точек с переменными ; . В каждой указанной точке должно выполняться условие или . На практике в большинстве случаев ставится задача исследования функции , определенной на множестве точек, удовлетворяющих системе ограничений. Такое множество точек образует область, границами которой являются уравнения связи , , …, . Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным или глобальным экстремумом функции (соответственно абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) в этой области. Согласно теореме Вейерштрасса функция непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и своего наименьшего значений. Теорема. Абсолютный (глобальный) экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.
|