Дифференциал функции нескольких переменных

Функция , определенная в области и непрерывная в точке , называется дифференцируемой в точке , если полное приращение в некоторой окрестности точки можно представить в виде:

,

где – постоянные; – бесконечно малые, стремящиеся к нулю при . Если не все значения равны нулю, то величина является бесконечно малой первого порядка и называется главной линейной частью приращения дифференцируемой функции или ее полным дифференциалом. Величина является бесконечно малой более высокого порядка. Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции можно записать в виде

.

Для дифференцируемых функций предел отношения частных приращений к приращению соответствующей переменной имеет конечный предел при , равный , т.е. из дифференцируемости функции непосредственно вытекает существование конечных частных производных этой функции и их равенство коэффициентам главной части разложения полного приращения.

Под дифференциалом независимой переменной обычно понимают приращение этой переменной, т.е. .

Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции .

Функция, имеющая дифференциал в данной области, называется дифференцируемой в этой области. Если функция дифференцируема в данной области, то в этой области она непрерывна.

Теорема. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Доказательство: Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет дифференциал . Для определения коэффициентов рассмотрим полное приращение функции . Тогда частное приращение функции по й переменной можно записать как . Отсюда следует, что . Переходя к пределу при это равенство можно записать в виде . Аналогичные рассуждения справедливы для каждой из компонент. Таким образом, с учетом вышесказанного, выражение для полного дифференциала функции можно записать как:

.

Совокупность всех частных производных вектора можно рассматривать как координаты вектора, который называется вектором-градиентом . При этом формула для вычисления полного дифференциала может рассматриваться как скалярное произведение вектора-градиента и вектора с координатами, равными дифференциалам независимых переменных, который называется вектором-приращением . Скалярное произведение принимает максимальное значение при условии, что вектора – сомножители сонаправлены. Таким образом, направление вектора-градиента является направлением наиболее сильного изменения функции.