Основные теоретические сведения. называется сходящимся, если существует предел его частичных сумм

Ряды

1. Числовой ряд

, (1)

называется сходящимся, если существует предел его частичных сумм . Число называется суммой ряда. Если же предел частичных сумм не существует, то ряд (1) называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости: если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при .

К достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами () относятся:

а) Признак сравнения в предельной форме: если

(2)

то ряды и одновременно сходятся или расходятся. В качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат:

ряд , сходящийся при и расходящийся при ;

ряд , сходящийся при и расходящийся при .

б) Признак Даламбера: если существует

(3)

то ряд сходится при и расходится при . Если же , то вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.

Ряд с членами, имеющими разные знаки, называется условно сходящимся, если ряд сходится, а ряд расходится, и абсолютно сходящимся, если ряд сходится.

в) Признак Лейбница: если члены ряда удовлетворяют условиям:

1) (т.е. ряд знакочередующийся);

2)

3) то ряд сходится. Погрешность D, происходящая от замены суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой его первых n членов, по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов:

. (4)

2. Ряд вида

(5)

называется степенным рядом [относительно ()], точка – центром разложения, a_n – коэффициентами ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если ряд (5) сходится при и расходится при . При ряд может как сходиться, так и расходиться. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (5). Радиус сходимости R может быть найден по формуле

. (6)

Степенной ряд (5) внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется дифференцируемая функция , которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям при (другая запись ), называется задачей Коши.

График всякого решения данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости хОу, называется интегральной кривой этого уравнения.

2. Уравнение вида называется линейным. Если , то уравнение называется однородным; если – неоднородным. Общее решение однородного уравнения получается путем разделения переменных; общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения с помощью вариации произвольной постоянной интегрирования С.

Данное неоднородное уравнение можно интегрировать также с помощью замены , где u, v – две неизвестные функции.

3. Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид

Задача нахождения решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям ; ; …;

, называется задачей Коши.

Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.

4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении функция : а) непрерывна по всем своим аргументам в некоторой области D их изменения; б) имеет ограниченные в области D частные производные по аргументам , то найдется интервал , на котором существует единственное решение дан-

ного уравнения, удовлетворяющее условиям ; ; …; , где значения ; ; ; …; содержатся в области D.

Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n -го порядка можно только в некоторых частных случаях.

5. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где - числа, причем . Если , то уравнение называется однородным, а если – неоднородным.

6. Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть - дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:

1) – общим решением уравнения является функция (k ₁ и k ₂ – корни характеристического уравнения);

2) – общим решением служит функция (k – корень характеристического уравнения);

3) – общим решением является функция ( - корни характеристического уравнения).

7. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.

Теорема. Если у * - некоторое частное решение неоднородного уравнения и Y – общее решение соответствую-

щего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.

1) Пусть ; тогда:

а) , если нуль не является корнем характеристического уравнения;

б) , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;

в) , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.

2) Пусть ; тогда:

а) , если число a не является корнем характеристического уравнения;

б) , если число a является корнем характеристического уравнения;

в) , если число a является двукратным корнем характеристического уравнения.

3) Пусть тогда:

а) , если число не является корнем характеристического уравнения;

б) , если число является корнем характеристического уравнения.

Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд

.

Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера (3). Так как общий член ряда , то, заменяя в выражении n -го члена n на n+ 1, находим . Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при :

Поскольку полученный предел равен единице, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (здесь для вычисления предела было использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В качестве эталонного ряда выберем ряд и в силу формулы (2) получим

Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с общим членом расходится (гармонический ряд).

Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Решение. Радиус сходимости находим по формуле (6):

Интервал сходимости данного ряда определяется неравенством или .

Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой ряд

расходимость которого может быть установлена с помощью предельного признака сравнения (эталонный ряд – гармонический).

При получаем числовой знакочередующийся ряд

который сходится по признаку Лейбница. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд , расходится, то исследуемый ряд сходится условно.

Таким образом, интервал сходимости исследуемого степенного ряда имеет вид

Пример 3. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Перепишем данное уравнение так: - и рассмотрим однородное уравнение . Так как x ¹0 (значение х =0 не является решением неоднородного уравнения), то

– общее решение однородного уравнения.

Применяем далее метод вариации произвольной постоянной С. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде ; . Подставив значения у и у’ в неоднородное уравнение, получим

.

Так как , то

.

Подставив это значение С (х) в общее решение неоднородного уравнения, получим - общее решение неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения подставим значения х =1, у =2 в общее решение: . Значит, - частное решение неоднородного уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при х =0.

Решение. Рассмотрим однородное уравнение . Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид , откуда . Следовательно, общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде . Имеем

.

Подставим эти выражения в неоднородное уравнение

и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:

Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

,

а общее решение неоднородного уравнения – вид

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

;

.

Искомое частное решение таково:

.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6