Методические указания к контрольным работам по высшей математике

Е.Г. Родионов, Е.В. Старостина, Д.С. Фомичёв

Для слушателей I курса факультета заочного обучения

Иваново 2008

УДК 51

ББК 22.12

Р 60

Родионов Е.Г. Методические указания к контрольным работам по высшей математике: Учебно-методическое пособие /Е.Г. Родионов, Е.В. Старостина, Д.С. Фомичёв. - Иваново: ООНИ ИвИ ГПС МЧС России, 2008. - 84 с.

Методические указания содержат рекомендации по изучению отдельных разделов курса высшей математики. Весь материал разбит на 6 разделов по количеству контрольных работ. В начале каждой работы содержатся основные теоретические сведения, необходимые для успешного выполнения предложенных контрольных работ. В них также приводятся решения некоторых типовых примеров.

Предназначено для слушателей I курса факультета заочного обучения по специальности 280104.65 «Пожарная безопасность».

Методические указания рассмотрены и рекомендованы к публикации кафедрой высшей математики и информатики. Протокол № 12 от 10.04.2008 г.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Ивановского института государственной противопожарной службы МЧС России.

Рецензенты: Т.М. Лопатина - доцент кафедры высшей математики Ивановского государственного энергетического университета, к.ф.-м.н.

В.А. Комельков - преподаватель кафедры пожарной автоматики Ивановского института ГПС МЧС России, к.т.н.

Ó ИвИ ГПС МЧС России, 2008

Оглавление

Предисловие....................................... 4

Методические указания к контрольным работам......... 10

Контрольная работа №1. Элементы линейной алгебры и

аналитической геометрии. Комплексные числа.......... 10

Контрольная работа №2. Введение в математический

анализ. Дифференциальное исчисление функций одной

переменной........................................ 29

Контрольная работа №3. Исследование функций с по-

мощью производных. Интегральное исчисление функций

одной переменной.................................. 39

Контрольная работа №4. Функции нескольких перемен-

ных. Кратные и криволинейные интегралы............. 50

Контрольная работа №5. Ряды. Обыкновенные диф-

ференциальные уравнения........................... 59

Контрольная работа №6. Основы теории вероятностей... 69

Список рекомендуемой литературы........................ 83

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная цель настоящих методических указаний – способствовать развитию практических навыков у слушателей при самостоятельной работе над учебным материалом.

Пособие предназначено для слушателей 1 курса факультета заочного обучения ИвИ ГПС МЧС России, содержит рекомендации по решению задач контрольных работ №№ 1, 2,3, 4, 5, 6.

Тема контрольной работы №1 «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа».

Тема контрольной работы №2 «Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной».

Тема контрольной работы №3 «Исследование функций с помощью производных. Интегральное исчисление функций одной переменной».

Тема контрольной работы №4 «Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы».

Тема контрольной работы №5 «Ряды. Обыкновенные дифференциальные уравнения».

Тема контрольной работы №6 «Основы теории вероятностей».

В начале каждой работы содержатся основные теоретические сведения, необходимые для успешного выполнения предложенных контрольных работ. Также приводятся решения некоторых типовых примеров.

Изучая литературу, особое внимание следует обратить на теоретические вопросы, публикуемые ниже. Они входят в программу экзамена и зачетного собеседования.

Основные требования, с которыми Вам придется столкнуться на экзамене:

1. Умение четко сформулировать каждое понятие, истолковать его геометрический или физический смысл, приводить примеры, иллюстрирующие понятие.

2. Умение четко формулировать и доказывать теоремы, знать выводы формул, указанных в вопросах.

3. Знание основных формул и приемов, умение применять их к решению задач.

Теоретические вопросы

1. Определители 2 и 3 порядка, свойства определителей.

2. Матрицы, виды матриц. Действия с матрицами. Обратная матрица.

3. Система линейных уравнений (основные понятия). Матричный способ решения систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

4. Векторное произведение и его свойства. Векторное произведение в координатах. Приложения векторного произведения.

5. Смешанное произведение и его свойства. Смешанное произведение в координатах. Приложения смешанного произведения.

6. Векторы. Линейные операции над векторами. Разложение векторов по базису. Скалярное произведение векторов.

7. Координаты вектора. Действия над векторами в координатах. Угол между векторами. Направляющие косинусы.

8. Виды уравнения прямой на плоскости.

9. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

10. Уравнение плоскости с нормальным вектором. Общее уравнение плоскости.

11. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

12. Прямая в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве. Параметрическое уравнение прямой.

13. Кривые второго порядка. Окружность.

14. Эллипс. Исследование канонического уравнения эллипса.

15. Гипербола. Исследование уравнения гиперболы.

16. Канонические уравнения параболы и их исследования.

17. Комплексные числа в алгебраической форме и действия с ними.

18. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

19. Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

20. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при . Теоремы о пределах функции.

21. Первый и второй замечательные пределы.

22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые и их свойства.

23. Непрерывные функции и их свойства.

24. Точки разрыва и их классификация.

25. Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Производные основных элементарных функций.

26. Производная суммы, разности, произведения, частного функций. Производная сложной функции.

27. Производная неявно и параметрически заданной функции, логарифмическое дифференцирование.

28. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

29. Правило Лопиталя, раскрытие неопределенностей.

30. Производные высших порядков (явно, неявно и параметрически заданных функций).

31. Монотонность и экстремумы функции.

32. Выпуклость графика функции и точки перегиба.

33. Асимптоты графика функции.

34. Понятие функции нескольких переменных. Изображение функции двух переменных в пространстве. Линии уровня.

35. Частные производные функции двух переменных.

36. Полный дифференциал функции нескольких переменных, связь его с частными производными.

37. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

38. Производная по направлению. Градиент функции .

39. Экстремумы функций двух переменных (основные понятия, необходимые условия экстремума, достаточные условия экстремума).

40. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

41. Понятия первообразной и неопределённого интеграла. Таблица основных неопределённых интегралов. Свойства неопределённого интеграла. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки.

42. Дробно-рациональная функция и её представление в виде суммы простейших дробей. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование дробно-рациональных функций.

43. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегралы типа . Использование тригонометрических преобразований.

44. Интегрирование простейших иррациональностей. Квадратичные иррациональности. Дробно-линейная подстановка. Тригонометрическая подстановка.

45. Понятие определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определённого интеграла. Методы вычисления определённого интеграла.

46. Геометрический смысл определённого интеграла. Вычисления площадей плоских фигур: в прямоугольных координатах, в полярных координатах.

47. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечным промежутком интегрирования). Признаки сравнения. Абсолютная сходимость.

48. Несобственные интегралы второго рода (от разрывной функции). Признаки сходимости.

49. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1 ^го порядка с разделяющимися переменными.

50. Дифференциальные уравнения 1 ^го порядка: однородные, линейные и уравнения в полных дифференциалах.

51. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка.

52. Линейные дифференциальные уравнения n–го порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2–го порядка и свойства его решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения n–го порядка.

53. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2–го порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные дифференциальные уравнения n–го порядка с постоянными коэффициентами.

54. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2–го порядка. Структура общего решения. Метод нахождения частных решений (метод вариации постоянных).

55. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2–го порядка с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида.

56. Двойной интеграл. Определение. Геометрический смысл. Основные свойства.

57. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат (случай прямоугольной и криволинейной областей). Вычисление площади плоской фигуры.

58. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.

59. Тройной интеграл. Определение. Основные свойства тройного интеграла.

60. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Вычисление объема тела.

61. Замена переменной в тройном интеграле. Вычисление тройных интегралов в цилиндрических и сферических координатах.

62. Криволинейные интегралы 1 рода.

63. Криволинейные интегралы 2 рода.

64. Поверхностные интегралы 1 рода.

65. Поверхностные интегралы 2 рода.

66. Векторное поле.

67. Числовые ряды. Основные понятия. Свойства. Необходимый признак сходимости.

68. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

69. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

70. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Свойства абсолютно сходящегося ряда.

71. Степенные ряды. Основные понятия. Теорема Абеля.

72. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

73. Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд.

74. Понятие тригонометрического ряда Фурье. Вывод формул для коэффициентов Фурье. Формулировка теоремы Дирихле.

75. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций заданных на отрезке [-П; П]. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.

76. Основные понятия комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки). Примеры.

77. Случайные события, его виды. Классическое и статистическое определение вероятности. Примеры.

78. Теорема сложения вероятностей несовместных и совместных событий.

79. Теорема умножения вероятностей независимых и зависимых событий.

80. Формулы полной вероятности и Байеса.

81. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.

82. Функция и плотность распределения. Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

83. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.

84. Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства дисперсии.

85. Статистика и ее задачи. Основы обработки статистических данных. Вариационные ряды и их графическое изображение. Основы выборочного метода. Генеральная совокупность и выборка. Среднее квадратическое отклонение.

86. Проверка статистических гипотез. Критерии согласия.

87. Простейший поток событий. Математическое моделирование потока вызовов пожарных подразделений.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1