На практике используют десятичный логарифм из-за удобства расчетов (кратность числу десять)

Лекция 5: Логарифмические частотные характеристики

Получение логарифмических частотных характеристик.

Прологарифмируем ЧПФ W(jω) = A(ω)e^jφ(ω):

ln W(jω) = ln A(ω) + jφ(ω).

Вывод: Логарифмическая форма состоит не из произведения АЧХ и ФЧХ, а из суммы этих составляющих. Это удобно, т.к. позволяет строить и исследовать их раздельно.

На практике используют десятичный логарифм из-за удобства расчетов (кратность числу "десять").

История:

, т.е. тот же результат.

В начале 20 века фирма Белл (телеграфия) вела работы по передаче сигналов по линиям и исследовала их затухание. Сигнал оценивался мощностью, которая, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды (напряжения или тока I²R).

В результате для логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) было получено соотношение

,

где А(ω) – отношение амплитуд.

Эту ЛАЧХ L(ω) стали измерять в беллах. Т.к. 1 белл равен десятикратному изменению мощности , то десятикратное изменение амплитуды = 2 беллам. Т.к. , стократное изменение амплитуды: .

Это слишком большая величина для оценки небольших изменений, поэтому для удобства в ТАУ шкалу растянули, введя новую единицу измерения децибел за счет ввода в выражение L(ω) дополнительного коэффициента = 10. В результате получилась формула, которая используется и в связи, теоретическом управлении и телефонии и т.п. следующего вида: L(ω) = 20 lg A(ω) [дБ].

	L = 20 lgA, дБ	Величина 1 дБ равна: 20 lgA = 1, или , т.е. небольшая величина. Вопрос: из акустики – по отношению к чему определяется дБ. Ответ: порог чувствительности уха – шепот в библиотеке. бел
10 000
10 000 000
10 млн.	порог для разрушения уха

Замечание: Величина модуля A(ω) должна быть безразмерной величиной. Это часто выполняется, например, электронные регуляторы, передаточная функция разомкнутой САУ и т.п. Однако, и для размерных величин и A(ω) осуществляется логарифмирование, а исходная размерность приписывается результату, например lgω принимают за .

Логарифмическая шкала и ее координаты

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ требуется стандартная логарифмическая сетка. По оси абсцисс откладывается lgω, а по оси ординат L(ω). Ось ординат не проходит через ω = 0, т.к. lg 0 = -∞. Оси ординат φ(ω) и L(ω) можно проводить раздельно, но их совмещают.

Местоположение оси L(ω) определяется частотным диапазоном (полосой пропускания) динамического звена (сист.), чтобы последний хорошо просматривался на рисунке.

Для построения φ(ω) используется эта же шкала при этом ось абсцисс совмещают с φ = -180˚, что удобно при оценке качества системы, ее устойчивости и при синтезе. С практической точки зрения положительная фаза (нарастание, сдвиг) откладывается вниз (как на рисунке) – это не догма, фаза φ(ω) откладывается в равномерном масштабе.

На оси абсцисс откладываются как ω, так и lgω.

Десятикратное изменение частоты называется декадой.

Частотой ω для конкретной точки оси абсцисс определяется через lgω → которая имеет равномерный масштаб, также как и L(ω) в отличие от А(ω) имеет равномерный масштаб. диапазоны А(ω) и ω получаются значительными.

Например. , и аналогично .

На оси абсцисс А(ω) = 1, и соответственно L(ω) = 0 дб.

Методика построения ЛАЧХ

Главным достоинством ЛЧХ является возможность построения ЛАЧХ без вычислительной работы в виде кусочно-ломаной прямой, которая называется асимптотической ЛАЧХ. Все отрезки этой ЛАЧХ имеют наклоны, кратные величине ±20 дб/дек.

Для иллюстрации простоты построения ЛАЧХ рассмотрим ряд важных примеров:

1. W(s) = K, А(ω) = K, тогда L(ω) = 20lgK – прямая, параллельная оси ω.

2. , тогда L(ω) = 20lgK – 20lgω. (20lgK = const, lgω – новая переменная)

Из этого уравнения видно, что это прямая с наклоном -20 дб/дек. Координаты (ω = 1, L(ω) = 20lgK) и (L(ω) = 0, ω = K).

Вопрос: Почему наклон -20 дб/дек?

Ответ: при ω = 1, L = 20lgK,

при ω = 10, L = 20lgK – 20,

т.е. частота увеличилась в 10 раз, а спад ЛАЧХ равен 20 дб. Отсюда и терминология – 20 дб/дек.

В принципе такую характеристику проводят через одну опорную точку, а затем находят точку на десятикратно увеличенной частоте. Обычно декада – отрезок в мм (Δlgω = 1).

3. , , L(ω) = 20 lgK – 40 lgω. (из ).

Аналогично, это прямая с наклоном – 40 дб/дек.

4. W(s) = Ks, A(ω) = Kω, тогда L(ω) = 20 lgK + 20 lgω.

Аналогично, но наклон + 20 дб/дек.

Частота среза (А(ω) = 1) равна (из А(ω) = Kω = 1).

Предварительный вывод: Благодаря логарифмической сетке простейшие нелинейные зависимости выпрямляются (растягиваются) в прямую линию.

5. , .

Отсюда наклон прямой ±20n дб/дек, .

6. .

при и L(ω) ≈ 20 lgK;

при и L(ω) ≈ 20 lgK – 20 lg(Тω)

Это прямая с наклоном – 20 дб/дек, начиная от точки .

7. ; , .

при имеем L(ω) = 20 lgK, пренебрегаем , т.к.
;

при , тогда .

Поэтому .

Вывод: Начиная с частоты характеристика претерпевает излом на – 40 дб/дек. Если оператор находится в числителе W(s), то наклон будет +40 дб/дек.

Погрешность в т. равна:

.

Оптимальный вариант: при имеем 6 дб/дек.