Лекция 1

Рассмотрим, как переводится десятичное число в двоичное на примере десятичного числа 900. При преобразовании определим прежде всего единицу с наибольшим значением, а затем единицы с меньшими значениями. Единица со значением 2¹⁰ = 1024 не подходит, так как 1024 > 900. Следовательно, наибольшая единица будет соответствовать разряду 2⁹ = 512. Вычитаем из 900 число 512 и получаем: 900 - 512 = 388. Подбираем следующий подходящий разряд двоичного числа для десятичного числа 388. Это 2⁸ = 256. Теперь остаток: 388 - 256 = 132. Значит берем 2⁷ = 128. Проводим операцию вычитания: 132 - 128 = 4. Ясно, что 4 = 2². Остатка больше нет. таком образом мы определили все разряды двоичного числа, отличные от 0. Следовательно, все остальные цифры двоичного числа являются нулями. В итоге получили:

900₁₀ = 512 + 256 + 128 + 4 = 1 · 2⁹ + 1 · 2⁸ + 1 · 2⁷ + 0 · 2⁶ + 0 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 0 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 0 · 2⁰ = 1110000100₂.

Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа. Значение знакового разряда для положительных чисел равно 0, а для отрицательных чисел равно 1.

Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные, а в знаковый разряд заносится 1.

Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

1.2. Арифметические операции над целыми числами в дополнительном коде. Представление целых чисел произвольной длины и операции над ними

Двоичные числа складываются так же, как и десятичные, то есть по разрядам. Сложение начинается с меньших разрядов. При этом действуют следующие правила:

0 + 0 = 0,

0 + 1 = 1,

1 + 0 = 1,

1 + 1 = 10,

1 + 1 + 1 = 11.

За одно действие складываются только два числа. При сложении нескольких чисел сначала складывают первое и второе число, затем прибавляют к результату третье и т.д.

Оба числа пишут поразрядно друг над другом. В случае переноса разряда единица записывается в следующий разряд и учитывается при сложении цифр этого разряда. Иными словами при переносе разряда приходится складывать три двоичных числа.

Для проверки правильности вычислений можно преобразовать двоичные числа в десятичные, провести операцию с ними, а затем перевести результат в двоичную систему счисления. В нашем случае: 11 + 19 = 30.

При вычитании действуют следующие правила:

0 - 0 = 0,

1 - 0 = 1,

1 - 1 = 0.

Отрицательный результат операции 0 - 1 пока не рассматриваем.

При вычитании вычитаемое число пишется под уменьшаемым. Вычитание начинается с наименьшего разряда.

Здесь не возникло никаких трудностей, так как не было операции 0 - 1. Чтобы проводить такую операции, нужно заимствовать единицу из соседнего старшего разряда. Тогда получаем: 10 - 1 = 1. После чего в старшем разряде получается 0. Пример:

В компьютерной технике вычитание производится добавлением дополнения к вычитаемому числу. Рассмотрим вычитание с дополнением на примере десятичной системы счисления. Допустим, что автомобиль имеет пятиразрядный спидометр. который в данный момент показывает, что автомобиль уже проехал 95 000 км. Если он проедет еще 15 000 км, то спидометр покажет 10 000 км, так как у него нет шестого разряда, чтобы показать число 110 000. Число 10 000 получается, если из 95 000 вычесть 85 000. Иными словами, разность 95 000 - 85 000 = 10 000 равнозначна при пяти разрядах сумме 95 000 + 15 000 = 10 000.

В двоичной системе вычитание в дополнительном коде производится аналогичным образом. Например, при четырех разрядах надо найти разность 1111 - 111 = 1000 (15 - 7 = 8), это равносильно нахождению суммы 1111 + 1001 = 11000 (15 + 9 = 24), так как пятого разряда нет и мы получим: 1111 + 1001 = 1000 (15 + 9 = 8). Как определить число 1001 (9)? Для того чтобы определить дополнение вычитаемого числа, нужно знать количество разрядов, с которым предстоит работать. В нашем случае их 4 (в компьютерной технике число разрядов, с которыми может работать компьютер, тоже известно заранее). Вычитаемое число 111 в случае четырех разрядов выглядит так: 0111. Проинвертировав это число (то есть поменяв нули и единицы местами), получаем 1000. Это число на 1 меньше искомого дополнения 1001. Следовательно, чтобы найти дополнение нужно выполнить инвертирование вычитаемого числа и затем добавить к нему 1.

В двоичной системе дополнение и вычитаемое число дополняют друг друга при n-разрядном представлении до 2ⁿ. Например, в нашем случае: 1001 + 111 = 10000 (9 + 7 = 16 = 2⁴).

Если вычитаемое число больше, чем уменьшаемое, то в результате получится отрицательное число. Например, 27 - 47 = -20. В двоичной системе счисления этому примеру соответствует разность 11011 - 101111. Проведем вычитание в дополнительном коде. Инвертируем 101111, получаем: 010000. Прибавляем к результату единицу: 010000 + 1 = 010001. Полученное дополнение складываем с уменьшаемым, приписав уменьшаемому 0 в старшем разряде: 011011 + 010001 = 101100. Если в расчетах используется только 6 разрядов, то получиться 101100. Дополнительный седьмой разряд будет нужен для определения, является число положительным или отрицательным. Если бы уменьшаемое число было больше вычитаемого, то перехода в седьмой разряд не произошло бы, следовательно там бы был 0 (разность была бы положительной). Таким образом можно определять с помощью седьмого дополнительного разряда, является число положительным (тогда в этом разряде будет 0) или отрицательным (в дополнительном разряде находится 1).

Однако полученное число 101100 в десятичной системе счисления равно 44, а вовсе не -20. Но мы-то теперь знаем, что это отрицательное число, а не положительное (каковым является 44), так как в дополнительном разряде расположена 1. Следовательно, его величина определяется иначе. Для этого нужно провести инверсию числа: 010011. А затем добавить к нему единицу: 010011 + 1 = 010100 (20). Полученный результат как раз и характеризует абсолютную величину отрицательного числа (1)101100₂ = -20₁₀ (то есть его модуль).

Цифровая техника всегда имеет известную разрядность (например, 8, 16, 32 или 64 разряда). Поэтому наибольший разряд всегда известен и может рассматриваться как дополнительный знаковый разряд.

При умножении двоичных чисел действуют следующие правила:

0 · 0 = 0,

0 · 1 = 0,

1 · 0 = 0,

1 · 1 = 1.

Приведем пример:

Деление чисел в двоичной системе счисления производится аналогично делению десятичных чисел.

Date: 2015-08-15; view: 220; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...