Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду АФЧХ разомкнутой САУ (рис.70). Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Его можно производить экспериментально, поэтому часто оказывается, что АФЧХ разомкнутой САУ мы имеем или можем получить.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

W_p(p) = W_p(p)/D_p(p) = > уравнение динамики: y(t) = e(t),

или

D_p(p) y(t) = K_p(p) e(t).

Здесь D_p(p) - характеристический полином разомкнутой САУ. То есть по виду корней уравнения D_p(p) = 0 можно судить об устойчивости разомкнутой САУ. Но это пока ничего не говорит об устойчивости замкнутой САУ.

Для того, чтобы получить уравнение динамики замкнутой САУ при свободном движении, считаем, что внешнее воздействие u = 0, тогда на вход первого звена САУ подается сигнал

e(t) = u(t) - y(t) = - y(t).

То есть

D_p(p) y(t) = K_p(p) (- y(t)),

следовательно уравнение замкнутой САУ:

(D_p(p) + K_p(p)) y(t) = 0.

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой САУ:

D_з(p) = D_p(p) + K_p(p) = 0.

По виду его корней уже можно судить об устойчивости замкнутой САУ.

Воспользуемся вспомогательной функцией:

F(j ) = 1 + W_р(j ) = .

По сути дела она представляет собой АФЧХ разомкнутой САУ, сдвинутую на единицу вправо. Степени полиномов D_з(j ) и D_p(j ) равны n. Эти полиномы имеют свои корни p_зi и p_pi, то есть можно записать:

F(jw) = .

Каждую разность в скобках можно представить вектором на комплексной плоскости, конец которого скользит по мнимой оси (рис.63в). При изменении от - до + каждый из векторов j - p_i будет поворачиваться на угол +p, если корень левый и -p, если корень правый.

Пусть полином Dз(jw) имеет m правых корней и n - m левых, а полином D_p(j ) имеет g правых корней и n - g левых. Тогда суммарный угол поворота вектора функции F(j ) при изменении частоты от - до + :

p[(n - m) - m)] - p[(n - g) - g] = 2p(g - m).

Если замкнутая САУ устойчива, то m = 0, тогда суммарный поворот вектора F(j ) при изменении от - до + должен быть равен 2 g, а при изменении от 0 до + он составит 2 g/2.

Отсюда можно сформулировать критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива и имеет g правых корней, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор F(j ) при изменении от 0 до + охватывал начало координат в положительном направлении g/2 раз, то есть АФЧХ разомкнутой САУ должна охватвать g/2 раз точку (- 1, j0).

На рис.71а приведены АФЧХ разомкнутых САУ, устойчивых в замкнутом состоянии, на рис.71б - замкнутая САУ неустойчива.

На рис.71в и 71г показаны АФЧХ разомкнутых астатических САУ, соответственно устойчивых и неустойчивых в замкнутом состоянии. Их особенность в том, что АФЧХ при 0 уходит в бесконечность.

В этом случае при использовании критерия Найквиста ее мысленно замыкают на вещественную ось по дуге окружности бесконечно большого радиуса.

Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Лекция 10. D-разбиение. Запас устойчивости