Елементарна теорія гіроскопічних явищ

Гіроскопом називають тверде тіло, яке має вісь симетрії і обертається навколо цієї осі з кутовою швидкістю, що значно більша за кутову швидкість обертання самої осі симетрії.

У сучасних гіроскопах кутова швидкість власного обертання гіроскопа (обертання тіла навколо осі симетрії) ω ₁ досягає значення 6·10⁴ с^-1, в той же час кутова швидкість обертання осі ω ₂≈1·10^-2 с^-1. Це значить, що кінетичний момент гіроскопа можна обчислити за формулою:

(14.22)

В елементарній теорії гіроскопічних явищ виходять з таких припущень:

а) кінетичний момент гіроскопа відносно його точки О направлений по осі симетрії гіроскопа Oz;

б) модуль кінетичного моменту дорівнює добутку моменту інерції гіроскопа відносно його осі симетрії та кутової швидкості його власного обертання.

Розглянемо зрівноважений або вільний гіроскоп. Гіроскоп, на який не діють зовнішні сили або ці сили зрівноважені, називається зрівноваженим або вільним гіроскопом (рис. 14.3).

Рис. 14.3

Якщо на гіроскоп не діють зовнішні сили, то

звідси

(14.24)

тобто модуль і напрям кінетичного моменту вільного гіроскопа відносно точки опори є постійним; вектор направлений по осі гіроскопа. Це значить, що вісь вільного гіроскопа зберігає незмінний напрям в просторі по відношенню до інерціальної (зоряної) системи відліку.

З рівності (14.24) зокрема витікає, що вільний гіроскоп обертається з постійною кутовою швидкістю В дійсності кутова швидкість зменшується, бо тут не врахований опір повітря і сили тертя в точці опори.

Знайдемо, куди буде відхилятись вісь гіроскопа, якщо до неї прикласти паралельно до осі Оу силу (див. рис. 14.3). Момент сили відносно точки опори О дорівнює за модулем Згідно теореми Резаля маємо:

(14.25)

Таким чином, якщо на вісь гіроскопа, що швидко обертається, подіє сила, то ця вісь буде відхилятись за напрямком, який має вектор - момент цієї сили відносно точки опори гіроскопа.

Головний момент зовнішніх сил дорівнює:

(14.26)

Тоді

(14.27)

а значить, вісь Oz гіроскопа обертається навколо вертикальної осі Oz ₁, тобто здійснює регулярну прецесію.

Обчислимо кутову швидкість ω ₂ прецесії. З (14.27) маємо:

(14.28)

З іншого боку, швидкість точки А (кінець вектора ) можна знайти за формулою:

(14.29)

або

(14.30)

З формул (14.28) і (14.30) знайдемо:

;

(14.31)

Таким чином, чим швидше обертається гіроскоп, тим повільніше він прецесує, і навпаки, - чим повільніше обертається гіроскоп, тим швидше він прецесує.

Дослідимо гіроскопічний ефект. Для цього розглянемо гіроскоп, який обертається з кутовою швидкістю навколо горизонтальної осі Oz, закріпленої за

Рис. 14.5 допомогою підшипників В ₁ і В ₂ в рамі, яка в свою чергу обертається з кутовою швидкістю навколо вертикальної осі Oz ₁ (рис. 14.5).

Нехай В цьому випадку:

(14.32)

Ефект дії гіроскопічної пари (; ) на підшипники, в яких закріплена вісь гіроскопа, називається гіроскопічним ефектом.

Оскільки , то

, (14.33)

за модулем

(14.34)

бо

Для визначення N ₁ або N ₂ треба скористатись рівністю:

(14.35)

тобто

(14.36)

Якщо поворот проводиться швидко (ω ₂ є великою величиною), то гіроскопічний тиск може бути великим і зруйнувати підшипники. Ось чому величини цих тисків повинні враховуватись при відповідних розрахунках підшипників.

Крім гіроскопічних (динамічних) тисків на підшипники В ₁ і В ₂, будуть діяти статичні тиски і (рис. 14.6):

(14.37)

Тоді

(14.38)

Зауваження. Для закріплення матеріалу §14 (пункт 14.5) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 40.1, 40.2, 40.3, 40.5;

2) № 40.4, 40.6 – 40.9;

3) № 40.10, 40.11.

Рекомендується розв’язати також задачі № 15.5, 15.6, 15.7, 15.16, 15.18, 15.19, 15.23, 15.25, 15.29, 15.31 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.