Значить

v = v ₀ + v_r ln(m ₀ /m). (13.18)

Ця формула називається формулою Цiолковського. Нею можна користуватися для наближеного обчислення швидкостi ракети в тих випадках, коли сила опору i сила ваги не є великими порiвняно з реактивною силою.

Розв’яжемо таку задачу. Яким повинно бути вiдношення початкової маси ракети до маси в кiнцi горіння пального для досягнення ракетою першої космiчної швидкостi, якщо вiдносна швидкiсть викидання частинок постiйна i дорiвнює 3000 м/с?

Дано: v = 7910 м/с; v ₀ = 0; v_r = 3000 м/с.

Знайти: m ₀ /m.

Розв’язання. По формулi Цiолковського маємо:

7910 = 3000 ln(m ₀ /m); ln(m ₀ /m) = (7910/3000) = 2,64;

(m ₀ /m) = e ^2,64; (m ₀ /m) = 14,0.

Значить, m ₀ = 14,0 m: стартова вага ракети повинна бути в 14 разiв бiльша за вагу останнього ступеня ракети.

Друга задача. Ракета рухається в однорiдному полi сил ваги вертикально вгору з постiйним прискоренням а. Ефективна швидкiсть витiкання газiв v_r постiйна. Визначити: 1) закон змiни маси ракети; 2) час Т, за який маса ракети зменшиться в 2 рази.

Розглянемо рух ракети, запущеної з поверхнi Землi в системi координат з початком в точцi запуску (рис. 13.2).

Рiвняння Мещерського запишемо так:

атмосфери. Реактивна сила

направлена в бiк додатного напряму осi х, бо (dm/dt) < 0. Введемо позначення: S - площа вихiдного перерiзу сопла; Р - тиск в газовому потоцi на зрiзi сопла; р (х) - статичний атмосферний тиск.

Сила, обумовлена тиском газового потоку i статичним тиском атмосфери, дорiвнює (Р- р (х)).

Тоді сила тяги двигуна ракети

При русi в пустотi р (х) = 0 i

Це спiввiдношення запишемо так:

де

Величина v_e>v_r називається ефективною швидкiстю витiкання.

Таким чином, рух ракети описується рiвнянням:

(13.19)

Розв’язок цього рiвняння є складним. При вiдсутностi атмосфери з (13.19) одержимо:

(13.20)

де - сила тяжiння.

Якщо знехтувати силою тяжiння i силою опору атмосфери, то з (13.20) маємо:

Звідси

(13.21)

Позначимо z = (m ₀ /m) - це число Цiолковського.

У випадку нашої задачi рiвняння (13.20) записуємо так:

Роздiлимо змiннi

та проінтегруємо

Звiдси

При m = m ₀ / 2, t = T:

Якщо ракета рухається при g = 0 (полe тяжiння вiдсутнє), то

Зауваження. Для закріплення матеріалу §13 (пункти 13.2 – 13.5) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 36.1 - 36.6, 45.2, 45.4;

2) № 36.7 - 36.9, 36.11 - 36.13, 45.8 - 45.12, 45.16, 45.18 – 45.20, 45.27;

3) № 36.10, 36.14, 45.22 – 45.24, 45.26, 45.28, 45.29, 45.34.

Рекомендується розв’язати також задачі № 9.4, 9.5, 17.2 - 17.8 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.