Маятник Фуко

Добове обертання Землi навколо своєї осi можна виявити, спостерiгаючи за коливанням тягаря, пiдвiшеного на довгiй нитцi. Цей дослiд уперше здiйснив у 1851 роцi французький фiзик Ж.-Б.-Л.Фуко, який скористався маятником довжиною 67 м з тягарем на кiнцi нитки, який важив 30 кг.

Розглянемо математичну теорiю маятника. Систему вiдлiку вибираємо так: вiсь Oz направимо вертикально вгору, вiсь Oy - по дотичнiй до паралелi на схiд, i вiсь Ох - у площинi меридiана (рис. 8.4). Початок координат O збiгається з точкою пiдвiсу маятника.

Реакцiю нитки можна подати у виглядi

= R (- /l), (8.19)

де - радiус-вектор тягаря маятника, l - довжина нитки, (- /l) - одиничний вектор, що визначає напрям реакцiї нитки. З рiвнянь (8.18) i (8.19) знайдемо

Рис. 8. 4.

(8.20)

Тут враховано, що ω_x = - ω cos θ, ω_у = 0, ω_z = ω sin θ.

Розглянемо малi коливання маятника. Координати тягаря задовольняють рiвнянню сфери:

x ² + y ² + z ² - l ² = 0,

тодi

z/l = - [ 1 - ((x ² +y ²) /l ²)]^1/2 = - [ 1 - ((x ² +y ²) /2l ²) +... ] ≈ - 1,

тобто z = - l з точнiстю до величин другого порядку малостi, величинами dz/dt i d ² z/dt ² можна знехтувати як величинами другого порядку малостi.

Пiсля спрощення рiвняння (8.20) можна записати так:

(8.21)

З третього рiвняння знайдемо R, нехтуючи доданком 2 ω cos θ (величина /l за умовою є малою величиною). Отже, маємо

R ≈ mg. (8.22)

Це означає, що натяг нитки маятника залишається приблизно сталим i дорiвнює вазi тягаря, який коливається. З (8.21) при цiй умовi знайдемо

(8.23)

Цю систему рiвнянь проiнтегруємо так. Помножимо друге рiвняння на i додамо до першого рiвняння. Позначимо х+iу = U. Одержимо лiнiйне рiвняння

(d ² U/dt ²) + 2 ω ₁(dU/dt) I + n ² U = 0, (8.24)

де n ² = g/l; ω sin θ = ω ₁.

Шукаємо розв'язок рiвняння (8.24) у формi

U = e^λt.

Характеристичне рiвняння

λ ² + 2 ω ₁ λi + n ² = 0;

його коренi такi:

Позначимо , тодi

, (8.25)

де C ₁ i C ₂ - довiльнi сталi.

Розглянемо рух, при якому C ₁ = - C ₂ = c. Тодi маємо

(8.26)

Абсолютна величина цього комплексного виразу дорiвнює

|x + iy| = 2 c sin(At), (8.27)

а аргумент

α = π/ 2 - ω ₁ t. (8.28)

Формули (8.27) i (8.28) показують, що точка М (проекцiя тягаря маятника на горизонтальну площину xOy) коливається гармонiчно вздовж прямої, яка проходить через початок координат, а сама ця пряма рiвномiрно обертається з кутовою швидкiстю

da/dt = -ω ₁ = -ω sin θ.

Знак ”мінус” тут означає, що обертання вiдбувається за стрiлкою годинника (зi сходу через пiвдень на захiд), якщо дивитися зверху (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Встановимо початковi умови такого руху. Знайдемо похiдну за часом вiд величини U:

= + i = [2 Ac cos(At) + 2 c (π /2 -ω ₁ t) i sin(At)] . (8.29)

При t ₀ = 0 х ₀ + iу ₀ = 0; + i = 2 cАе^{iπ/ 2},

звiдки х ₀ = =0; у ₀ = 0; = 0; = 2 сА ≠ 0.

Це значить, що маятник у початковий момент часу одержав поштовх у положеннi рiвноваги в напрямi на схiд або на захiд.

Зауваження. Для закріплення матеріалу §8 необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:

1) № 33.1, 33.2, 33.3, 33.5, 33.16;

2) № 33.4, 33.7, 33.9, 33.13, 33.14, 33.18, 33.19;

3) № 33.20, 33.21, 33.22.

Рекомендується розв’язати також задачі № 8.24, 8.25, 8.28, 8.29, 8.34, 8.39, 8.40, 8.41, 8.42, 8.44 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.