Математика мнимых чисел

История развития мнимых чисел весьма интересна, так как она следует по пути постоянных (и не вполне успешных) попыток избавиться от «вторичных качеств» природы. В XVII в. математики Джон Уоллис (1616-1703) и Готфрид Лейбниц (1646-1716), наряду с другими, обдумывали проблему квадратного корня отрицательных чисел. Они знали, что если взять квадрат с площадью, равной 1, то квадратный корень тоже будет равен 1.

Давайте еще раз подумаем о мнимых числах. Эти математики знали, что если нужно найти квадратный корень числа 4, это будет 2. Почему? Потому что, как я говорил ранее, если вы возводите число 2 в квадрат, то получается 4, то есть 2 х 2 = 4.

Что, умноженное само на себя, дало бы в результате отрицательное число? Ответа никто не знал. Поэтому математики пришли к выводу, что в их поле действительных чисел должно чего-то не хватать, так как в этом поле не было ничего такого, что давало бы им квадратные корни отрицательных чисел. Они знали, что им нужен новый вид числового поля, которое было бы расширенным вариантом поля действительных чисел, так как ничто в поле действительных чисел не вело к квадратному корню -1! Докажите это сами.

Квадратный корень из + 9 равен 3.

из +3 равен 1,732…

из +2 равен 1, 414.

из +1 равен 1,000.

из +0,5 равен 0,707.

Квадратный корень из +0,2 равен 0,447.

из +0,01 равен 0,100.

из -1 равен???

Что такое квадратный корень -1??? Ничто в поле действительных чисел.

. -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5.

После некоторых размышлений о его возможной мистической природе математики, наконец, договорились подавлять мистицизм, связанный с i, и определять его чисто технически как квадратный корень -1.

Иными словами, они отделили свои чувства относительно ухода из реального числового поля и вхождения в новую сферу, которую они называли «мнимой», взамен создав практический набор определений. С чисто логической или математической точки зрения, они не могли находить квадратные корни отрицательных чисел и потому придумали один такой корень, приписав математическое свойство √-1 одной букве алфавита! Результатом было и до сих пор остается то, что квадратный корень из -1 обозначается буквой i, то есть:

√-1 = i

Это обозначение интересно само по себе, но его истинная ценность открывается, когда вы производите следующее определение. Если вы умножаете мнимое число само на себя, то получаете действительное число, то есть:

i × i = -1,

и значит

√-1 = i

Это определение означает, что существует связь между действительными и мнимыми числами. Это определение призвано быть логичным и не нуждающимся в объяснении. И это определение удивительно! Оно дает науке новое измерение.

Действительные числа можно непосредственно считать, а мнимые нельзя. Вы знаете, к чему относится число 5. Оно меньше, чем 6, и больше, чем 4. Но какое отношение имеет 5i к 5? Оно не больше и не меньше, чем 5, но и не равно 5! Вы можете сосчитать пять овец и называть это «5». Но 5i не имеет непосредственного, измеримого значения.

Первые изобретатели мнимых чисел считали эти числа мистическими, поскольку их нельзя было увидеть в реальности. Изобретатели надеялись, что эти числа – просто логические или умственные конструкции, что бы это ни означало. Однако Лейбниц думал иначе. Он не только определял мнимое число как i х i = —1, но и описывал его как «Святой Дух» математики, возможно, потому что его физическое значение не поддавалось непосредственному пониманию. Для него мнимое число было призраком – Святым Духом, стоящим за материальной реальностью. Для Лейбница мнимые числа были «утонченным и удивительным прибежищем божественного духа – почти промежуточной стадией между бытием и небытием…»

Для итальянского математика Рафаэля Бомбелли, жившего в 1575 г., мнимые числа были «сумасбродными мыслями». Леонард Эйлер (1701-1783) говорил: «такие числа по самой своей природе невозможны и обычно называются мнимыми или воображаемыми числами, поскольку они существуют только в воображении»5.

Было так, будто в науку снова и навсегда входили невидимые пространства! Мнимые числа подобны духам, поскольку их нельзя непосредственно измерять в общепринятой реальности. Измеримы только квадраты их природы, поскольку i в квадрате (i х i) равно -1; это действительное число, а i – нет. Таким образом, вплоть до сегодняшнего дня, спустя около четырехсот лет, никто точно не знает, к чему относятся мнимые числа.

О психологических процессах «I»

В предыдущих главах мы рассматривали психологическое значение отрицательных чисел, которые, подобно долгам, представляют собой нечто такое, чем вы кому -то обязаны. Вспомните флорентийские и венецианские банки и их понятие долгового обязательства, а также то, что проекция подобна долгу, поскольку проецируя, вы что-то заимствуете, за что вы, в конечном счете, должны расплачиваться присвоением этого.

Проводя дальше эту аналогию между отрицательными числами и проекциями, мы могли бы сказать, что квадратный корень отрицательного числа – это квадратный корень проекции. Но что же такое корень проекции? Корень проекции – это призрачные переживания, подобные сновидению. Если я сильно расстраиваюсь и всегда говорю, что некоторые люди «плохие», то, возможно, проецирую часть самого себя. Корень моей проекции можно было бы найти в моем сновидении, где присутствует «плохой персонаж». Разумеется, этот плохой парень – я сам.

Точно так же i – это квадратный корень, или призрачный корень отрицательного числа. В этом смысле i подобно духу, как говорил Лейбниц. Это что-то невидимое, наподобие символа сновидения, который при возведении в квадрат развертывается в область жизни.

Иными словами, i более или менее похоже на святой дух. Оно божественно в том смысле, что обладает автономной способностью сновидений возводить себя в квадрат или развертываться в область повседневной жизни. Психологической аналогией мнимого числа может служить образ сновидения, который, при пробуждении, усиливается до такой степени, что вы считаете его реальным.

Например, я живо помню, как моему другу приснилось, что у его подруги роман с кем-то еще. Проснувшись, он спросил ее, так ли это, и даже когда она сказала, что это не так, он продолжал в это верить.

Процесс сновидения развертывается дальше в виде проекций, которые в действительности представляют собой своего рода долг, аналогично тому, как мнимое число, теперь означающее сновидение, возводит себя в квадрат в формуле i × i = -1.

Мой друг ошибался в отношении своей подруги; он был ей что-то должен! Но в сновидении, то есть в необщепринятой реальности он не ошибался. В сновидении моего друга у нее были отношения с другим человеком, который, как говорил мой друг, был более чутким и более отзывчивым по отношению к ней, чем он сам. Мой друг ревновал к «другому человеку», так как этот воображаемый персонаж обладал всеми чувствами, которых не было у моего друга в повседневной жизни.

Иными словами, мы можем считать мнимые числа аналогичными фигурам в НОР: мнимые числа реальны, но только в необщепринятом смысле. Они не истинны с точки зрения общепринятой реальности, где вещи можно измерять, фотографировать и взвешивать. Они подобны сновидению.

Процесс сновидения, будучи воображаемым, возводит себя в квадрат и создает проекции в повседневной жизни. Сновидения могут быть или не быть реальными с точки зрения ОР, но они, безусловно, совершенно реальны с точки зрения НОР!

Мы знаем, что сновидения случаются не только ночью. Они происходят и в течение дня в форме едва уловимых восприятий НОР. Например, тому, что мы называем проекцией, всегда предшествуют взгляды, мимолетные мысли, едва заметные чувства в отношении объекта или человека, на кого мы проецируем. Эти неуловимые чувства и мысли, взгляды и заигрывания представляют собой переживание квадратного корня проекции. Они происходят так быстро, что относятся к сфере сновидения, к сфере наших чувственных способностей воспринимать вещи тонким и, как правило, не признаваемым образом.