Практическое задание №3. Программирование систем поддержки принятия решений в условиях неопределенности

Неопределенность является характеристикой внешней среды
(природы), в которой принимается управленческое решение о раз­
витии (или функционировании) экономического объекта. Здесь бу­дем рассматривать неопределенность «природы», вызванную отсут­ствием, недостатком информации о действительных условиях (фак­торах), при которых развивается объект управления. Внешняя сре­да («природа») может находиться в одном из множества возможных
состояний. Это множество может быть конечным и бесконечным.
Будем считать, что множество состояний конечно или по крайней
мере количество состояний можно пронумеровать.

Пусть S_j— состояние «природы», при этом i=1,n, где п — чис­ло возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется реализация принимаемого управленческого ре­шения. Будем считать, что множество управленческих решений (планов) R _j также конечно и равно т. Реализация r _j плана в усло­виях, когда «природа» находится в S_j состоянии, приводит к опре­деленному результату, который можно оценить, введя количест­венную меру, В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана); потери от принимаемого реше­ния, а также полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимые для принятия решения в условиях нео­пределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки кото­рой соответствуют возможным действиям (управленческим реше­ния) R_j, а столбцы — возможным состояниям «природы» S_i.

Допустим, каждому R_j-му действию и каждому возможному S_i-му состоянию «природы» соответствует результат (исход), опре­деляющий результат (выигрыш, полезность) при выборе j-го дейст­вия и реализации i-го состояния, — V_ji.

(22)

Рисунок 3-матрица для принятия решения в условиях нео­пределенности

Следовательно, математическая модель задачи принятия реше­ний определяется множеством состояний {S_i}, множеством планов (стратегий) {R_j} и матрицей возможных результатов || V_ji||. В качест­ве результатов в отдельных задачах рассматривается матрица ри­сков || r_ji||.

Риск — мера несоответствия между разными возможными ре­зультатами принятия определенных стратегий (действий).

Элементы матрицы рисков ||r_ji|| связаны с элементами матрицы полезностей (выигрышей) следующим соотношением:

максимальный элемент в столбце i матрицы по­лезностей

Если матрица возможных результатов ||V_ji|| представляет собой матрицу потерь (затрат), то элементы матрицы рисков ||r_ji|| следует определять по формуле

минимальный элемент в столбце i матрицы потерь (результатов).

Таким образом, риск — это разность между результатом, кото­рый можно получить, если знать действительное состояние «при­роды», и результатом, который будет получен при j-й стратегии.

Матрица рисков дает более наглядную картину неопределенной ситуации, чем матрица выигрышей (полезностей).

Непосредственный анализ матриц выигрышей ||V_ji|| или рисков ||r_ji|| не позволяет в общем случае принять решение по выбору оп­тимальной стратегии (плана), за исключением тривиального слу­чая, когда выигрыши при одной стратегии выше, чем при любой другой для каждого состояния «природы» (элементы матрицы вы­игрышей в некоторой строке больше, чем в любой из других). Дру­гими словами, имеется в наличии «доминирующая» стратегия.

Для принятия решения в условиях неопределенности использу­ется ряд критериев. Рассмотрим некоторые из них. Это критерий Лапласа, критерий Вальда, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица.

1. Критерий Лапласа.

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим прин­ципом каждому состоянию Si, ставится вероятность q_i определяе­мая по формуле

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие R_j, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия R_j вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии R_j.

Другими словами, находится действие Rj, соответствующее

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков ||r_ji||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует на­илучший уровень провозных возможностей транспортного пред­приятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превы­шения провозных возможностей над спросом (из-за простоя по­движного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей:

Таблица 10- прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Решение:

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S₄. Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R₁, R₂, R₃, R₄ Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S_i и R_j заданы следующей матрицей (таблицей):

Рисунок 4-матрица для принятия решения

Принцип Лапласа предполагает, что S₁, S₂, S₃, S₄ равновероят­ны. Следовательно, P{S = S_i }= 1/n= 1/4 = 0,25, i = 1, 2, 3, 4 и ожидае­мые затраты при различных действиях R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с критерием Лапласа будет R₂.

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный крите­рий).

Применение данного критерия не требует знания вероятнос­тей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наиболь­шей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилуч­шей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат V_ij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{V_ij}, а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. дейст­вие, определяющее результат, равный

. (29)

j i

Если в исходной матрице по условию задачи результат V_ij пред­ставляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный кри­терий.

Для определения оптимальной стратегии R_j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij}, а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будут соответство­вать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

j i

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как V_ij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таб­лице:

Таблица 11-

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R₃.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

3.Критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r_ij ||. Элементы данной матрицы можно определить по формулам (23), (24), ко­торые перепишем в следующем виде:

(31)

Это означает, что r_ij есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями V_ji при том же i. Неза­висимо от того, является ли V_ji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), r_ji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r_ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при ко­торой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Пример 6. Рассмотрим пример 4. Заданная матрица опреде­ляет потери (затраты). По формуле (31) вычислим элементы мат­рицы рисков || r_ij ||:

Полученные результаты вычислений с использованием крите­рия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

Введение величины риска r_ji, привело к выбору первой страте­гии R₁, обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой не­благоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями из­бежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4.Критерий Гурвица.

Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположе­ниях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — α) и в самом выгодном состоянии с вероятно­стью α, где α — коэффициент доверия. Если результат V_ji — прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записыва­ется так:

j i i

Когда V_ji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

j i i

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max V_ji, или к так называемой стратегии «здорового оптими­ста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Поло­жим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

Wj	min Vji i	max Vji i	i i	min Wj j
W1
W2			17,5	-
W3				-
W4				-

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа — выбор стратегии R₂,

по критерию Вальда — выбор стратегии R₃;

по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R₁;

по критерию Гурвица при α = 0,5 — выбор стратегии R₁, а ес­ли лицо, принимающее решение, — пессимист (α = 0), то выбор стратегии R₃.

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

Задание для самостоятельного решения: написать программу на языке С++ для выбора наиболее эффективного проекта легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля

Определена экономическая эффективность V_ji каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечению трех сроков рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следующей таблице (д.е.):

Требуется выбрать лучший проект для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица при ɑ=0,1. Сравните решения и сделайте выводы.