Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии

Пусть у нас имеются данные о доходах (x) и спросе на некоторый товар (y) за ряд лет (n):

Предположим, что между x и y существует линейная взаимосвязь, т.е. y=a+bx.

Для того, чтобы найти уравнение регрессии, прежде всего нужно исследовать тесноту связи между случайными величинами x и y, т.е. корреляционную зависимость.

Пусть

x ₁ , x ₂ ,..., x _n совокупность значений независимого, факторного признака;

y ₁ , y ₂ ,..., y _n совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака;

n количество наблюдений.

Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:

1. Средние значения

для экзогенной переменной;

для эндогенной переменной.

2. Отклонения от средних величин

3. Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения

= ;

.

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

4. Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y. Если K _{x, y} > 0, то взаимосвязь прямая. Если K _{x, y} < 0, то взаимосвязь обратная.

5. Коэффициент корреляции вычисляется по формуле

.

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (- 1 >= R _{x, y} <= 1). Коэффициент корреляции в квадрате называется коэффициентом детерминации.

Если R _{x, y} > |0,8|, то вычисления продолжаются.

6. Вычисления параметров регрессионного уравнения.

Коэффициент b находится по формуле

После чего можно легко найти параметр a:

Коэффициенты a и b находятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разностей (остатков) между фактическими значениями результативного признака y _i и его расчетными значениями y _{i р} , полученными при помощи уравнения регрессии

.

При этом величины остатков находятся по формуле

,

где y _i фактическое значение y; y _{i σ} расчетное значение.

Пример 1: Линейная регрессия, нахождение уравнения регрессии.

Задание: С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих Y, данные приведены в таблице 2:

Таблица 1- соотношение зарплаты и кол-ва уволившихся рабочих

Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Решение: Сначала найдем характеристики случайных величин X и Y (выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение).

Таблица 2 – вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения для X

Сумма

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия 25000=500

Выборочное квадратичное отклонение

Таблица 3 – вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения для Y

Сумма

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия 1350=270

Выборочное квадратичное отклонение

Осталось подсчитать Подсчеты занесем в таблицу:

Таблица 4 - вычисление произведений x_iy_i и их суммы

Коэффициент корреляции вычислим по формуле

Уравнение регрессии Y на X имеет вид:

Подставляем все величины:

Пример 2: Линейная регрессия по корреляционной таблице, построение графика.

Задание: Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблицы.

Таблица 5 - Корреляционная таблица

Решение: Построим ряды распределений для Y и X, вычислим их характеристики (выборочное среднее и выборочное среднее квадратичное отклонение)

Таблица 6 - Вычисление выборочного среднего и выборочного среднего квадратичного отклонения

			417,605
			893,025
			257,4325
			15,125
			677,655
			333,9075
Сумма			259,75

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Выборочное квадратичное отклонение

			4014,08
			1230,08
			1155,2
			4336,64
Сумма

Выборочная средняя

Выборочная дисперсия

Выборочное квадратичное отклонение

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

Найдем сумму

Тогда R_x,y=

Уравнение регрессии Y на X имеет вид:

Подставляем все величины:

Построим корреляционное поле и линию регрессии:

Рисунок 2- уравнение регрессии

Задание для самостоятельного решения: написать программу на языке С++ для нахождения уравнение регрессии и построения графика, отображающего корреляционное поле и линию регрессии.

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Таблица 7- сведения об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).