Теория колебаний. Связи. Обобщенные координаты. Виртуальные перемещения. Обобщенные силы. Условия равновесия

Физическая система называется колебательной, если все или некоторые ее величины, определяющие ее состояние, изменяются периодически.

Связи механической системы – ограничения, стесняющие движение системы и осуществляемые какими-либо другими материальными телами. Могут быть представлены в виде уравнений, которым должны удовлетворять координаты точек системы и производные от координат по времени.

количество точек, количество связей.

Обобщенные (независимые) координаты. Пусть система из точек, координат которых определяет ее положение в пространстве в момент времени , подчинена связям. В этом случае координат могут быть выражены через остальные независимые координаты, которым можно давать любые изменения без нарушения связей. Число независимых от связей координат системы есть число степеней свободы. Вместо декартовых координат в качестве независимых обычно выбирают другие, связанные с ними величины. Они называются обобщенными координатами и обозначаются , . Число обобщенных координат долдно быть равно числу независимых величин; однозначно определять положение системы и через них должны быть выражены все декартовые координаты системы в виде уравнений:

Виртуальные перемещения – воображаемые бесконечно-малые перемещения системы из одного положения в данный момент времени в другое положение, допускаемое связями в тот же момент времени, без освобождения от связей. Такие изменения координат при фиксированном времени обозначаются . В отличие от за время .

Обобщенные силы – преобразованные к обобщенным координатам выражения виртуальной работы сил

Выражение виртуальных перемещений через обобщенные координаты:

Выражение для обобщенной силы:

Обобщенная сила:

Может быть определена через потенциальную энергию:

Условие равновесного состояния системы.

Условие для консервативных систем, где первое условие выполняется автоматически.

Консервативная система – система, в которой работа сил по перемещению точки по замкнутому контуру равна нулю, т.е. отсутствуют силы трения и рассеивание энергии.