Канонические уравнения прямой в пространстве (с выводом)

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую. Будем считать, что точка M₁ (x₁, y₁, z₁) лежит на прямой а и (a_x, a_y, a_z)- направляющий вектор прямой а.

Очевидно, что множество точек M (x, y, z) трехмерного пространства определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и в координатной форме. Для этого нам нужно знать координаты этих векторов. Координаты вектора нам известны из условия. Осталось вычислить координыты вектора - они равны разности соответствующих координат точек M (x, y, z) и M₁ (x₁, y₁, z₁), то есть, . Теперь записываем условие коллинеарности векторов и (a_x, a_y, a_{z )}: , где - произвольное действительное число (при точки M (x, y, z) и M₁ (x₁, y₁, z₁) совпадают, что нас тоже устраивает).

Если a_x ≠ 0, a_y ≠ 0, a_z ≠0, то каждое уравнение системы можно разрешить относительно параметра и приравнять правые части:

Полученные уравнения вида в заданной прямоугольной системе координат Oxyz определяют прямую a. Уравнения есть канонические уравнения прямой в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz. Их также называют уравнениями прямой в пространстве в каноническом виде.