Общие уравнения прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

при условии, что эти плоскости не параллельны, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны. Эта система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Если две плоскости в пространстве имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой находятся все общие точки этих плоскостей. Таким образом, прямую линию в пространстве можно задать, указав две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.

и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0 соответственно. Так как прямая a представляет собой множество всех общих точек плоскостей α и β, то координаты любой точки прямой a будут удовлетворять одновременно и уравнению A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и уравнению A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ =0, координаты никаких других точек не будут удовлетворять одновременно обоим уравнениям плоскостей. Следовательно, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат Oxyz представляют собой частное решение системы линейных уравнений вида , а общее решение системы уравнений определяет координаты каждой точки прямой a, то есть, определяет прямую a.

Итак, прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей .