Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку. Векторное произведение обозначается а * b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

i * j = k, j * k = i, k * i = j.
Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а*b =(b*a)

Векторы а*b и b*а коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а*b и a, b, b*a противоположной ориентации). Стало быть a*b = -(b*a).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е. l(а*b) = (lа)* b = а * (lb). Пусть l>0. Вектор l(а*b) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)*b также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(а*b) и (lа)*b коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину. Поэтому l(a*b)= lа*b. Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>а*b =0. В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.