Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число. Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника. Суммой двух векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма - это если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.

Вектор называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. - коммутативность; 2. - ассоциативность; 3. ;

4.

Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: .

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям: 1. ;

2. ; 3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число: 1. ; 2. ;

3. ; 4. ; 5. ; 6.

Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Правая и левая тройки векторов.

Три вектора называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости. Свойства компланарности

Пусть — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

· Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

· Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

· Критерий компланарности – это сешанное произведение компланарных векторов .

· Компланарные векторы — линейно зависимы.

· Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или - тоже критерий компланарности.

· В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными (), если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены» ()) или противоположно направлены ().

Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов. Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.

Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки.

Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки.