Понятие вектора. Разложение вектора по базису

Понятие базиса: 1. Три линейно независимых вектора , и образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , и , т.е. если для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что справедливо равенство

. Аналогично определяется базис на некоторой плоскости.

2. Два лежащих в плоскости линейно независимых вектора и образуют на этой плоскости базис, если любой лежащий в этой же плоскости вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. если для любого лежащего в этой плоскости вектора найдутся такие вещественные числа и , что справедливо равенство . Справедливы следующие утверждения: 1) любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве; 2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.

3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нём существует в точности n линейно независимых векторов. Базисом n -мерного пространства называется любая система из n независимых векторов этого пространства.

Разложение вектора по базису

Итак, пусть , и - произвольный базис в пространстве, т.е. произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда для любого вектора найдутся такие вещественные числа , и , что будет справедливо равенство

. Принято называть разложением вектора по базису , , , а числа , и - координатами вектора относительно базиса , , . Аналогичным образом определяется разложение вектора по базису на плоскости: базис образуется двумя векторами, а координат разложенного по базису вектора также две.

Теорема 6. При сложении двух векторов и их координаты (относительно любого базиса , , ) складываются: .

При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число:

.

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами - координатами этих векторов.