Формула Ньютона – Лейбница

Эта формула имеет вид

Эта формула (называемая формулой Ньютона-Лейбница) сводит вопрос о вычислении определенного интеграла любой непрерывной функции к нахождению для нее первообразной функции. По существу этим перекинут мост между двумя частями математического анализа - дифференциальным исчислением (к которому, собственно, надо отнести и понятие первообразной функции) и интегральным исчислением, которое изучает в основном пределы интегральных сумм. К концу XVII в. оба эти исчисления были разработаны уже весьма обстоятельно, но то, что они связаны между собой, еще не было выяснено. Заслугой Ньютона и Лейбница является именно установление факта этой связи. Видим, что в основе ее лежит предложение, составляющее содержание теоремы, почему мы и назвали эту теорему основной теоремой математического анализа.

Ввиду чрезвычайной важности установленного результата придадим ему форму следующего правила:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Здесь - непрерывная на отрезке функция, а - какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

Формула Ньютона – Лейбница была уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на функция интегрируема и имеет первообразную на .

Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на функции влечет за собой существование у нее первообразной на .

Приведем другое доказательство формулы Ньютона – Лейбница. Вернемся к функции

. (2)

Заметим, что

. (3)

Кроме того, мы знаем, что есть первообразная для на . Поэтому, если есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа такая, что

. (4)

Из (2), (3), (4) получим

,

и мы доказали формулу (1).

П р и м е р 1.

.

Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой , равна .

П р и м е р 2.

.

Таким образом, площадь фигуры (рис. 79), ограниченной сверху синусоидой и снизу – осью , равна 2.

Рис. 78 Рис. 79

П р и м е р 3. Функция

непрерывна на отрезке , за исключением точки . Отрезок можно разрезать на два отрезка , , где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому интегрируема на . Справедлива формула

. (5)

В самом деле, на полуинтервале функция непрерывна: . Ее первообразная на этом полуинтервале равна . Поэтому, применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим

. (6)

В силу теоремы 1 непрерывна, в частности, в точке , поэтому

. (7)

Для

. (8)

Из (6), (7), (8) следует (5).

Более элегантная формула получится, если интегрировать от точки :

. (9)

Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела , есть непрерывная функция, в том числе и в точке , что согласуется с теоремой 1 § 6.3. Однако производная не существует, и это не противоречит теореме 2 § 6.3, которая гарантирует существование производной , только если непрерывна в точке .

Т е о р е м а 1 (о замене переменной). Имеет место равенство

, (10)

где функция непрерывно дифференцируема на , и непрерывна на - образе отрезка при помощи функции .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и - первообразные функции соответственно и . Тогда (см. § 5.2, (1) и ниже) справедливо тождество , , где - некоторая постоянная. Поэтому

(11)

Но на основании формулы Ньютона – Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11) – правой части (10), а это доказывает формулу (10).

П р и м е р 4.

.

З а м е ч а н и е. Верхний предел интегрирования по можно взять равным , а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.

П р и м е р 5.

,

потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему.

П р и м е р 6. Если - четная функция , то

,

потому, что

.

П р и м е р 7. Если - нечетная функция , то

.

П р и м е р 8. Если - периодическая функция периода , то

потому, что

,

и, следовательно,

.

П р и м е р 9.

.

П р и м е р 10. Решим пример 5, используя примеры 8, 7:

,

так как функция нечетная.

Т е о р е м а 2. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

, (12)

где и - непрерывно дифференцируемые на функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведение имеет на непрерывную производную

.

Поэтому по теореме Ньютона – Лейбница

,

откуда следует (12).

П р и м е р (11).

Т е о р е м а 3 (о среднем для определенного интеграла). Для непрерывной на отрезке функции существует точка такая, что

. (13)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как непрерывна, то для нее существует первообразная , поэтому

. (14)

Первое равенство в (14) есть формула Ньютона-Лейбница для непрерывной на функции . Второе равенство есть формула Лагранжа для . Наконец третье следует из того, что .