Современная логика

Решающую роль в процессе переоткрытия математической логики сыграли труды выдающегося английского математика Джорджа Буля (19в.). Буль исходил из идеи аналогии между логикой и алгеброй. Он стал рассматривать логику как алгебру лишь с нулем и единицей, в которой существуют все четыре операции арифметики. Основными операциями у Буля являются: сложение, обозначаемое знаком "+"; в исчислении классов (объемов понятий) булевой формуле х+у соответствует объединение классов х и у с исключением их общей части; в исчислении высказываний - так называемая строгая дизъюнкция, приблизительно соответствующая употреблению грамматического союза "либо" (либо х, либо у). Операции умножения, обозначается знаком "•"; в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, а в исчислении высказываний конъюнкция, приблизительно соответствующая употреблению грамматического союза "и". Выражение х•у Буль употребляет также в смысле "те х, которые суть у",(т.е. знак "•" играет здесь роль оператора "тот, который"). Дополнение до единицы, обозначающееся записью 1-х; в исчислении классов формула 1-х означает дополнение к классу х, в исчислении высказываний - отрицание х, т.е. "не-х".

Идеи Д.Буля нашли развитие в конце 19 века в трудах немецкого математика Эрнста Шрёдера. Алгебраическую традицию в математической логике продолжил американский философ конца 19 начала 20 веков Чарлз Сандерс Пирс. Его можно рассматривать как основоположника семиотики и логико-семиотических исследований. В этом же направлении работал немецкий философ Готлоб Фреге. Он создал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов, построил первую систему формализованной арифметики. Построение исчисления предикатов, в которое исчисление высказываний входит как часть, является заслугой Фреге. К его заслугам относится распространенные в современной логике истолкования понятий переменной, функции, предиката, квантора. Фреге сформулировал исходные положения логической семантики, исследовал отношения равенства и связь обозначающего и обозначаемого, ввел обобщенное понятие имени, его значения и смысла. Несмотря на все попытки свести математику к логике, а логику к математике, избежать парадоксов, возникающих в процессе такого сведения, оказалось невозможно. На эти парадоксы Фреге указал Бертран Рассел. Он также проделал большую работу по устранению парадоксов и созданию математической логики. Для этого он совместно с другим математиком и логиком Алфредом Нортом Уайтхедом в труде "Принципы математики" использовал способ аксиоматизации и формализации исчисления высказываний и предикатов, а также теорию типов как способ преодоления логических парадоксов. Согласно теории типов множество (класс) и его элементы относятся к различным логическим типам, тип множества выше типа его элементов, что устраняет "парадокс Рассела". И все же многие не приняли такое решение парадокса, полагая, что оно накладывает ограничения на математические решения.

Меры, принятые Расселом, были первой реакцией на трудности обнаруженные в основаниях математической логики. Другой реакцией было появление неклассической логики. В отличие от классической логики, где центральную роль играет понятие истинности, через которое определяются логические союзы, позволяющие строить сложные высказывания, в неклассической логике смысл логических союзов задается путем указания необходимых и достаточных условий, обеспечивающих утверждение сложных высказываний. Многие математики выступили с критикой такой логической программы, хотя были и сторонники интуитивистской логики. В ХХ веке появляется система многозначной логики польского математика Яна Лукасевича.

В настоящее время развитие современной логики идет в двух основных направлениях: по пути разработки новых систем неклассической логики, исследования свойств этих систем и отношений между ними, создания их общей теории. И по линии расширения сферы применения логики. Итогом исследований на первом направлении явилось множество логических дисциплин, и их список постоянно пополняется. Их можно объединить общим названием "интенсиональная логика", т.е. разделы логики, где изучаются законы и правила обращения с высказываниями в интенсиональных контекстах. Это направление представлено именами К.Гёделя, А.Тьюринга, А.Чёрча, Дж.фон Неймана, А.Н.Колмогорова.

Таким образом, историю логики можно представить в виде дерева, корнями своими уходящего в глубокую древность. Стволом этого дерева является история традиционной (аристотелевой) формальной логики, а крону этого дерева составляют ответвления традиционной, математической и диалектической логик. Правда, что считать диалектической логикой и до сих пор остается не совсем ясным. То ли это диалектический метод, материалистическая диалектика, методология, то ли это теория познания или метафизическая логика. Однако, во всяком случае достаточно очевидно, что традиционная логика не есть часть диалектической, что последняя не изучает структуру форм мысли (тогда бы она просто упразднила формальную логику); достаточно очевидно, что диалектическая логика в одинаковой степени со всеми остальными науками пользуется и формами мысли, исследованными традиционной логикой, и нормами к ним, сформулированными ею.