Влияние сопротивления на вынужденные колебания

Если учесть сопротивление среды пропорциональное скорости, как это было сделано выше, дифференциальное уравнение колебаний получится таким

. (21)

Решение его состоит из общего и частного решений. Общее мы уже находили выше. Например, при малом сопротивлении (n < k)

где

Частное решение будем искать в виде . Чтобы определить коэффициенты А и , подставим это решение в уравнение (21). Получим

(правую часть уравнения (21) представили как синус суммы двух углов: . Полученное уравнение обратится в тождество, если будут выполнены два условия (сгруппировав члены, содержащие и :

и

Из этих уравнений получим

Полное решение уравнения (21) будет таким

(23)

Очевидно, за счет сопротивления с течением времени первый член стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что установившиеся вынужденные колебания и с учетом сопротивления среды будут гармоническими.

Причем, во-первых, частота колебаний равна частоте изменения возмущающей силы; во-вторых, колебания не зависят от начальных условий и, в-третьих, амплитуда колебаний А зависит от частоты р и от сопротивления среды, характеризующегося коэффициентом n.

График этой зависимости от р и n дан на рис.10.

Рис.10

Из графика видно, что при сопротивлении амплитуда колебаний – конечная величина. И максимум амплитуды будет не при p = k, а при несколько меньшей частоте . Ее можно определить, отыскав максимум амплитуды А или, лучше, минимум функции F=(k²-p²)²+4n²p²

Приравняв к нулю производную, найдем И тогда величина максимальной амплитуды, подставив в (22),