Вынужденные колебания системы. Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным

Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным. И эта сила называется возмущающей силой.

Рис.7

Первое, что надо отметить, при p = k (частота возмущающей силы равна частоте свободных колебаний) амплитуда увеличивается до бесконечности.

Это явление называется резонансом.

Как известно из курса высшей математики, при p = k решение (17) не будет удовлетворять уравнению (15). Частное решение надо искать в другом виде:

Подставив его в уравнение (15), получим:

Отсюда и частное решение, определяющее вынужденные колебания при резонансе, получится таким

Видим, что амплитуда колебаний беспредельно равномерно увеличивается (рис.8). Амплитуда не сразу становится бесконечно большой. И даже малая возмущающая сила может раскачать систему до больших амплитуд и вызвать разрушение конструкции.

Рис.8

Интересен еще один случай, при котором частота р возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний, , но не равна ей.

Воспользуемся решением (17), положив для простоты . Пусть в начале движения координата и скорость равнялись нулю (при t = 0 q = 0 и ). Подставим эти начальные условия в уравнения

Получим два уравнения: 0=C₁ и 0=C₂k+Ap, из которых находим C₁=0, C₂=-Ap/k. Тогда уравнение колебаний

Так как и то, по (16),

Кроме того Уравнение движения получится таким

(20)

Рассматривая функцию, стоящую перед cospt, как амплитуду колебаний, замечаем, что она изменяется по гармоническому закону с периодом от нуля до максимального значения (рис.9).

Сами колебания совершаются с частотой р и периодом

Рис.9

Чем ближе частота возмущающей силы р к частоте k, т.е. чем ближе к резонансу, тем больше будет период амплитуды T_A и больше амплитуда A_max. И тем больше будет похож график на рис.9 на график на рис.8, изображающий колебания при резонансе. Эти колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Такое явление часто встречается, например, в радиотехнике.

Мы исследовали вынужденные колебания под действием возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону. Но нередко она оказывается более сложной. Приходится использовать специальные математические методы, чтобы получить более-менее точный результат.

Если возмущающая сила периодическая и ее можно разложить в ряд Фурье, то решение может оказаться не очень сложным.

Пусть возмущающая сила описывается периодической функцией Q = Q (t) с периодом , р – частота изменения этой функции. И пусть конструкция ее позволяет разложить функцию в ряд Фурье:

где Q_j и - коэффициенты Фурье, определяемые по специальным формулам.

Частное решение дифференциального уравнения (15) получится в виде ряда:

Количество s членов этого ряда стараются иметь не очень большим, если ряд хорошо сходится.

Решение получается как сумма нескольких синусоид («гармоник») с кратными частотами. Наименьшая частота р – называется основной частотой.

Интересно, что в полученном решении возможно несколько резонансов, столько, сколько гармоник: при p = k, p=k/2, p=k/3 и т.д.