Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению. Известно, что свободные колебания не длятся очень долгоИзвестно, что свободные колебания не длятся очень долго. Как правило они, как говорят, затухают и довольно скоро. Причиной этому является чаще всего – сопротивление среды, в которой движутся части колебательной системы. Обычно считают это сопротивление пропорциональным скорости. Пусть на каждую точку материальной системы действует сила сопротивления . Обобщенная сила, соответствующая этим силам, Скорость точек так как – сложная функция, а q=q(t). Поэтому Значит, Обозначим . Тогда обобщенная сила сопротивления Заметим, что по форме эта функция Ф аналогична кинетической энергии Т. Поэтому, если разложить ее в ряд Маклорена и учесть члены лишь второго порядка малости, результат получится тоже аналогичным (5): (коэффициент b также будет положительным). И тогда обобщенная сила сопротивления движению Функция Ф называется диссипативной или функцией рассеивания энергии системы. После подстановки в уравнение Лагранжа , получим дифференциальное уравнение или (10) Где n=b/2a - коэффициент сопротивления, - частота свободных колебаний без сопротивления. Найдем решение уравнения (10). Характеристическое уравнение: z2+2nz+k2=0 Корни его , могут быть и комплексными, и вещественными в зависимости от сопротивления, от величины коэффициента n.
а) Случай малого сопротивления ( n < k). Корни получаются комплексными , где , . Решение дифференциального уравнения ищем в виде (11) или (12) где постоянные C1 и C2 или и находятся по начальным условиям. Сравнивая решение (12) с (2), делаем вывод, что это будут колебания, но не гармонические, так как амплитуда колебаний, равная , не постоянная, уменьшается с течением времени. Поэтому такие колебания и называются затухающими. График таких колебаний дан на рис. 5. Рис.5
Следует заметить, что колебательный процесс не будет периодическим. Но, так как система проходит через положение равновесия через равное время, все-таки вводят понятие периода . Если сравнить этот период колебаний с периодом колебаний системы без сопротивления (3), увидим, что сопротивление увеличивает период колебаний и уменьшает их частоту. Интересна закономерность изменения амплитуды. Найдем отношение соседних амплитуд (через полпериода T/2): То есть амплитуды уменьшаются по закону геометрической прогрессии, знаменателем которой является величина . Натуральный логарифм ее, равный nT/2, называется логарифмическим декрементом колебаний. Конечно, через период амплитуда уменьшится в раз, а через m периодов – в раз.
б) Случай большого сопротивления ( n>k). Корни характеристического уравнения получатся вещественными: . В этом случае, как известно из курса математики, решение дифференциального уравнения (10): Решение явно неколебательное, непериодическое. Графики таких движений показаны на рис.6. Вид движения зависит от начальных условий и величины коэффициента сопротивления n. Рис.6
в) Случай равного сопротивления (n = k). Корни характеристического уравнения получаются равными: . Поэтому решение дифференциального уравнения . (14) Движение и в этом случае не будет колебательным.
|