Погрешности измерения

Поскольку не существует абсолютно точных приборов и методов измерений, результат измерения в какой-то мере отличается от истинного значения. Измерения всегда сопровождаются ошибками или погрешностями.

Погрешностью измерения называют разность между измеренным x и истинным X значениями физической величины:

.

При проведении измерений, как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. Результатом измерения является оценка истинного значения, которая чаще всего с ним не совпадает. Принято погрешность характеризовать доверительным интервалом, в котором с определенной степенью достоверности (доверительной вероятностью) содержится истинное значение. Середина этого интервала совмещается с оценкой истинного значения.

Различают следующие виды погрешностей (ошибок): грубые или промахи, систематические и случайные.

Промахи (грубые ошибки) – погрешности, существенно превосходящие ожидаемые значения при заданных условиях. Промахи могут быть следствием кратковременного воздействия на процесс измерения некоторого мешающего фактора, преобладающего над остальными, а также могут быть вызваны ошибками экспериментатора или сбоем измерительной аппаратуры. Результаты измерений, содержащие грубые ошибки, должны быть отброшены.

Систематические ошибки являются результатом влияния неучтенных факторов, связанных с условиями наблюдения (повышенная температура, электромагнитные помехи и т.п.) или с недостатками измерительных устройств (неправильная градуировка шкалы, несовершенство метода измерения). Систематические ошибки могут быть обнаружены и устранены как при обработке измерений, так и при организации измерительного процесса.

Случайные ошибки есть результат влияния большого числа различных причин, каждая из которых вносит малую ошибку, и ни одна из них не является доминирующей.

Будем предполагать, что систематические ошибки обнаружены и устранены, и поэтому в дальнейшем рассмотрим только случайные ошибки.

3. Обработка результатов прямых измерений

Допустим, что в результате n измерений некоторой физической величины x получен ряд значений x₁, x₂,...,.x_n. В этой совокупности результатов измерений возможны одинаковые значения.

В качестве значения, наиболее близкого к истинному, принимается среднее арифметическое

. (1)

Существует два способа обработки результатов измерений. В упрощенном варианте находят отклонения каждого отдельного измерения от среднего, т.е. величины

, , …, ,

которые называются абсолютными погрешностями измерений. Их среднее арифметическое

(2)

называется средней абсолютной погрешностью.

Окончательно результат записывается в виде:

(3)

В более корректном варианте случайную погрешность принято оценивать по среднеквадратичному отклонению от среднего значения измеряемой величины:

, (4)

где n – число измерений.

Истинное значение измеренной величины x лежит в интервале от до , где называется доверительным интервалом. Вероятность этого события P называется доверительной вероятностью. Доверительный интервал рассчитывается по формуле

, (5)

где t_p,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от доверительной вероятности P и числа измерений n. При обработке результатов измерений в лабораториях кафедры физики СГАСУ используется таблица коэффициентов Стьюдента в зависимости от числа измерений n для доверительной вероятности P=0.9 (таблица 1).

Окончательная форма записи результата имеет вид:

. (5)

Таблица 1

4. Обработка результатов косвенных измерений

Пусть некоторая физическая величина f связана функциональной зависимостью с прямо измеряемыми величинами a, b и c:

.

Первоначально для измеренных прямыми методами величин находят средние значения и доверительные интервалы по формулам (1) и (4) соответственно.

Тогда, истинное значение физической величины f оценивается по формуле

(6)

а доверительный интервал этой величины в предположении независимости величин a, b, c определяется по формуле

. (7)

Окончательно результат записывается в виде:

(8)